2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15  След.
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение22.09.2011, 19:18 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
ananova в сообщении #485285 писал(а):
venco
Точно подмечено. Это ключевой пункт, который я доказываю с помощью, так называемой, - Мидл теоремы Ферма. Есть Малая теорема Ферма, есть Великая, а есть ещё то, что я называю Мидл теоремой Ферма, обладающая теми же удивительными свойствами, что и обе перечисленные теоремы.

Найти ее формулу $\vartheta(x,y)$ математики смогут самостоятельно. Я же нашёл. Вот это удивительное свойство.

Малая теорема Ферма: $x^p \equiv x$  $\mod p$

Большая теорема Ферма: $x^p+y^p \equiv z^p \equiv x+y \equiv z$  $\mod p$ на базе свойства Малой теоремы

"Мидл теорема" Ферма: $x^p+y^p \equiv z^p  \equiv z  \equiv \vartheta(x,y)$  $\mod p$

Эта формула заслуживает отдельной темы, в общем.
По-вашему выходит, что "Большая теорема Ферма" и "Великая теорема Ферма" - это разные вещи, и, похоже, Ферма не имеет отношения к "БТФ", не говоря уж об "МидлТФ".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение22.09.2011, 19:59 


15/12/05
754
venco

Большая и Великая теоремы Ферма - это, конечно, одно и тоже. Просто хотел отметить общие свойства по модулю $p$. Но мы немного удалились от того, о чём сообщалось отдельными участниками в этой теме, что несложно доказать ВТФ, если доказать, что $x^3+y^3=(y+1)^3$. По-моему это блеф. Непонятно на чём это утверждение основано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение23.09.2011, 13:04 


23/01/07
3497
Новосибирск
ananova в сообщении #485210 писал(а):
Общий план моего доказательства такой...
1) $ x \equiv -1 $ ($\mod (x+1)$)
2) доказательство не в одну строчку, что для $y$ допустимо только такое сравнение: $y \equiv 1 $ ($\mod (x+1)$) и никакое другое.
3) $z^3 \equiv 0 $ ($\mod (x+1)$), это следует из пунктов 1) и 2)

А почему во второй степени все не так:
$3^2+4^2=5^2$
$5^2+12^2=13^2$
$7^2+24^2=25^2$
$9^2+40^2=41^2$?

-- 23 сен 2011 17:50 --

Я примерно понял, на чем Вы хотели сыграть...

Допустим, имеем запись рассматриваемого выражения в $x$-чной системе:
$1000=(y+1)^3-y^3$
Тогда в $(x+1)$-чной системе имеем:
$(-1)\equiv (y+1)^3\pmod {(x+1)}-y^3 \pmod {(x+1)}$,
т.е. у числа на единицу большего в кубе остаток должен быть на единицу меньше.

Но есть числа, по основанию которых и это соблюдается, например:
$3^3-2^3\equiv (-1)\pmod 5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение23.09.2011, 14:57 


15/12/05
754
Честно говоря, пример подобрать невозможно, в силу отстутствия решений. Но пусть будет так:

Пусть $x=11$, тогда $x+1=12$

$y=25, z=y+1=26$

$z \equiv 2 \mod (12)$
$z^3 \equiv 8  \mod (12)$, а для решения необходимо, чтобы $z$ был сравним с $0$

Если же, мы выходим за строгие рамки условия и рассматриваем $z=y+5$,
то в нашем примере $z \equiv 6 \mod (12)$ и
$z^3 \equiv 0 \mod (12)$.

Изестно арифм. ограничение, что $(y+x) > z$. Вот, если бы было более сильное ограничение, например:
$$(y+\sqrt[3]{x}) > z$$
то можно было бы надеяться на полный вариант доказательства.

Могу добавить только, что для Случая 2, в предположении, что $z$ делится на $3$, следует, что $x+1$ кратно $3$. Но опять же, разве это заслуживает внимания, если это не помогает получить полное доказательство для показателя степени $3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение23.09.2011, 16:17 


15/12/05
754
"Покрутил" уравнения.. Вроде, действительно, получаются нужные нам арифметические ограничения из уравнения...$$x^3=(z-y)(z^2+yz+y^2)$$
Поправьте меня, если я не прав.
$$x^3>(z-y)$$
$$x > \sqrt[3]{z-y}$$
Т.о., если $y \equiv 1 \mod (x+1)$, то $$z^3 \equiv (z-y+1)^3 \mod (x+1)$$ - не сравнимо с нулем, т.к. $(z-y)^3 < x$.

НЕ совсем корректный финал доказательства, связанный с увеличением на 1 результата сравнения. Я имею ввиду, что мне надо доказать, скорей всего, следующее: $$x > \sqrt[3]{z-y+1}$$ Так что, ещё подумать надо.
Может так? $$x^3=(z-y)(z^2+yz+y^2)$$ Т.к. $$1 < (z^2+yz+y^2)$$, то $$x^3>(z-y+1)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение24.09.2011, 08:19 


15/12/05
754
Теперь получился общий план доказательства ВТФ для степени 3 (Случая 2, $z$ кратно 3).

1) $ x \equiv -1 \mod{(x+1)}$
2) доказательство не в одну строчку, что для $y$ допустимо только такое сравнение: $y \equiv 1 \mod{(x+1)}$ и никакое другое.
3) $z^3 \equiv 0 \mod{(x+1)}$, это следует из пунктов 1) и 2)
4) Из 2) следует, что $z \equiv z-y+1 \mod{(x+1)}$
5) Хорошо бы получить строгое доказательство, что $x+1 > (z-y+1)^3$. (Действительно, согласно соотношений Барлоу, $\sqrt[3]{z-y}$ является множителем числа $x$.) В общем, по-моему, этот пункт "сыроват", чтобы утверждать его бесспорность, а без него не получится доказательства.
6) Вывод. Из пунктов 4) и 5) следует, что $z^3$ не может быть сравнимо с нулем по модулю $(x+1)$, что противоречит 3) ... чтд.

Я бы хотел, чтобы Вы уточнили мои выводы. Если они верны, то можно попробовать самостоятельно доказать второй пункт плана. Весьма вероятно, что доказательство будет оригинальным и я тогда приведу ещё и своё доказательство этого пункта. Получится два доказательства.

Добавлю рассуждений для 5). Если использовать соотношения Барлоу и записать $x$, как $x_1x_2$, где $x_1=\sqrt[3]{z-y}$, а $x_2=\sqrt[3]{z^2+zy+y^2}$. $y>(z-y) \Rightarrow x_2>3(x_1)^2 \Rightarrow x > 3(x_1)^3 $ . Чуть более глубокие исследования приводят к результату: $x > 3^2(x_1)^3 $. Вероятно этого не достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение24.09.2011, 10:17 


15/12/05
754
Уточню - Вероятно этого не достаточно для общего случая, но достаточно для $z=y+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение24.09.2011, 13:10 


15/12/05
754
Построил (с помощью программ) график функции $f(x-(z-y)^3)$. Он оказался больше 0. Т.е. подтвердает справедливость 5). Не строго, но наглядно, а значит доказуемо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение24.09.2011, 19:24 


15/12/05
754
$[x_2^3=z^2+yz+y^2 ] > [(x_1+1)^6 =(z-y+1)^3]$.

Значения функции: $f(z,y)=(z^2+yz+y^2)-(z-y+1)^3$ , при $z$ и $y$ больше нуля - положительные.

Т.е. условия 5) выполняются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2011, 05:34 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
ananova, к чему всё это, если нет доказательства пункта 2?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2011, 10:07 


15/12/05
754
venco
Мне довольно долго было непонятно как можно перейти от частного случая к общему, поэтому обратился за помощью. В результате активности появились логичные идеи, которые я изложил для Вашей проверки.

По поводу пункта 2). Времени у меня не много сейчас на теорему выделено. Даже на обмен мнениями. Может кто-то найдет доказательство пункта 2) собственное? Если не найдется до 22 ноября, то 22 ноября опубликую. Вот такая "интрига".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2011, 10:31 
Заслуженный участник


20/12/10
9061
ananova в сообщении #486176 писал(а):
Если не найдется до 22 ноября, то 22 ноября опубликую. Вот такая "интрига".
Выкладывайте сейчас, быстрей ошибку увидите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2011, 10:55 


15/12/05
754
nnosipov
Почему сразу ошибку? Есть же случаи, когда без ошибок доходишь до определенной точки в доказательстве. Вроде всё верно, но находятся новые неисследованные направления в доказательстве. Получается, что доказательство верно, но частный случай...

Но может быть и ошибка, например, тождество, как доказательство. Как правило, такие ошибки характерны, как раз в моем случае, когда не используется метод спуска.

Кроме того, я упомянул, что использовал для доказательства 2) полином $\vartheta_3(x,y)$ для степени 3:

$\vartheta_3(x,y)  \equiv x^3+y^3  \equiv  z^3  \equiv  x+y \equiv z \pmod {3}$

Зная цель, может кто-то найдет другой путь и найдет собственное доказательство 2). Возможно, что более простое. А моё доказательство может просто сбить интересные новые мысли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение27.09.2011, 21:03 


15/12/05
754
По пункту 2), Вы были правы. Не все возможные варианты исследовал. Остались таки лазейки. Так что второй пункт плана доказать не смогу. Увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение28.09.2011, 16:36 


15/12/05
754
Второй пункт плана, да и не только его, пришлось изменить. Остался только общий замысел.

Теперь в ранее приведенном плане моего доказательства вместо модуля $x+1$ везде используется $x+\vartheta$.

1) $x \equiv - \vartheta \equiv x \pmod{(x+\vartheta)}$
2) $y \equiv \vartheta \equiv -x \pmod{(x+\vartheta)}$
Ну и далее аналогично .. $z^3 \equiv 0  \pmod{(x+\vartheta)}$ ...
Пока так работает, но поиск ошибок продолжается.

Подразумеваю, что всё закончится тождеством :?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 218 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group