Сходимость ряда.

[ewert]

nnosipov в сообщении #485985 писал(а):

Но не в примере ТС --- вот здесь как раз интегралы бессмысленны (школьник их знать и не обязан). А простые методы сравнения --- полезно узнать.

Может, и не обязан. Однако для сравнения -- нужен эталон. А откуда он возьмётся без интегралов?...

Нет, конечно, зная оценку, полученную с помощью интегрирования, можно попытаться затем доказать её и без интегралов. Но это -- извращение. Угадать-то её не выйдет.

[nnosipov]

ewert в сообщении #485996 писал(а):

Нет, конечно, зная оценку, полученную с помощью интегрирования

А, вот Вы о чём. Так эту оценку достаточно один раз доказать (хоть с интегралами, хоть без --- это кому как нравится). И вряд ли это нужно делать, изучая тему "Сходимость рядов". Здесь вполне достаточно уметь ею пользоваться.

[RIP]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #485996 писал(а):

Однако для сравнения -- нужен эталон. А откуда он возьмётся без интегралов?...

Ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}$ можно исследовать и без интегралов — сведением к геометрической прогрессии.

[ewert]

(Оффтоп)

RIP в сообщении #486028 писал(а):

Ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}$ можно исследовать и без интегралов — сведением к геометрической прогрессии.

Я это уже сообразил, пока сходил в магазин (и даже пока спускался по лестнице). Достаточно рассмотреть $B_n=\sum\limits_{k=2^{n-1}}^{2^n-1}\frac{1}{k^{\alpha}}$ -- и станет очевидно, что $B_{n+1}<B_n\cdot2^{1-\alpha}.$ Вполне разумная стратегия, и действительно не связанная с интегралами.

В магазин вообще полезно ходить, в чисто математическом отношении.

(прошу прощения за бывшую очипятку -- но вроде все всё и так поняли)

[RIP]

(Оффтоп)

По-моему, это называется признак Коши. Посмотрел в Зориче: там это просто названо утверждением (но в скобках написано Коши). И в качестве примера рассмотрен этот ряд.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Если не ошибаюсь, меня когда-то учили такому критерию: положительный ряд $\sum_n a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_k 2^ka_{2^k}$. Оно?

[RIP]

(Оффтоп)

Да, только нужна монотонность.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Подзабыл, давненько уже это было.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #486039 писал(а):

Если не ошибаюсь, меня когда-то учили такому критерию: положительный ряд $\sum_n a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_k 2^ka_{2^k}$. Оно?

Нет, не оно, это чересчур уж изысканно. Тут всё гораздо грубее и естественнее: игра строится на том, что последовательно удваивающиеся отрезки ряда "самоподобны", а уж реализация -- это чисто технические детали.

-- Сб сен 24, 2011 19:24:29 --

(Оффтоп)

RIP в сообщении #486038 писал(а):

По-моему, это называется признак Коши.

Нет, это не признак Коши, это опять же грубее: для знакопостоянного ряда сходимость равносильна ограниченности частичных сумм. В Зорича не вглядывался.