Сходимость ряда.

[Утундрий]

Зачем мне Вас в чём-то убеждать? Что хотите, то и делайте.

[nnosipov]

RFZ в сообщении #485683 писал(а):

А последний сходится при $\alpha-\varepsilon>1$, но как отсюда получить $\alpha>1$?

$\varepsilon$ малюсенькое взять (в зависимости от данного $\alpha>1$). Неужели сейчас не учат подобным рассуждениям?

[RFZ]

А как доказать расходимость при $\alpha=1$?

[ИСН]

Взять интеграл (он же берётся в элементарных) и показать.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #485692 писал(а):

Взять интеграл ...

Сегодня вечером всех почему-то тянет на интегралы.

-- Сб сен 24, 2011 00:53:39 --

RFZ в сообщении #485691 писал(а):

А как доказать расходимость при $\alpha=1$?

Вспомните про гармонический ряд.

[RFZ]

nnosipov в сообщении #485690 писал(а):

RFZ в сообщении #485683 писал(а):

А последний сходится при $\alpha-\varepsilon>1$, но как отсюда получить $\alpha>1$?

$\varepsilon$ малюсенькое взять (в зависимости от данного $\alpha>1$). Неужели сейчас не учат подобным рассуждениям?

Ну в моей школе не объясняют.
Объясните пожалуйста как там получить $\alpha>1$?

[Утундрий]

$\[ \frac{{\ln x}} {x}dx = d\left( {\frac{{\ln ^2 x}} {2}} \right) \] $

[nnosipov]

RFZ в сообщении #485698 писал(а):

Ну в моей школе не объясняют.
Объясните пожалуйста как там получить $\alpha>1$?

Ладно, но только потому что Вы школьник. Итак, фиксируем произвольное $\alpha>1$ и докажем, что Ваш ряд с этим $\alpha$ сходится. Для достаточно больших $n$ имеем $\ln{n}<n^{(\alpha-1)/2}$, откуда $\ln{n}/n^\alpha<1/n^{(\alpha+1)/2}$. Поскольку $(\alpha+1)/2>1$, последний ряд будет сходящимся, а значит, сойдётся и Ваш ряд. Ну, понятно?

[RFZ]

Да всё понятно! Отличное доказательство!
Нам такого еще не показывали

[nnosipov]

RFZ в сообщении #485707 писал(а):

Да всё понятно! Отличное доказательство!
Нам такого еще не показывали

Слава Богу! Можно идти спать.

[Утундрий]

Такое скажете! Мне вот пережитое нервное напряжение так просто не даст уснуть

[bot]

RFZ, ну хотя бы теперь не хотите ли поправить свой вопрос?

RFZ в сообщении #485646 писал(а):

Верно ли, что ряд $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^{\alpha}}$ сходится при $\alpha > \dfrac{3}{2}$ ?

Конечно, верно, но

ИСН в сообщении #485663 писал(а):

Вы точно это хотели узнать?

[Sonic86]

RFZ в сообщении #485698 писал(а):

Ну в моей школе не объясняют.

Ууу, офигеть! Так Вы в школе.
Берите книжки: Фихтенгольц, 2-й том (если с пределам трудно будет - берите еще и 1-й том), задачник Демидовича и задачник Шмелева и решайте.

[ewert]

nnosipov в сообщении #485695 писал(а):

Сегодня вечером всех почему-то тянет на интегралы.

Потому что без интегралов никак. Т.е. для $\alpha=1$ ещё можно за разумное время без интегралов, а вот заморачиваться с кустарными доказательствами сходимости для больших степеней -- достаточно бессмысленно.

[nnosipov]

ewert в сообщении #485870 писал(а):

Потому что без интегралов никак.

Это --- в общем случае (хорошо известно, что суммы вычислять значительно труднее, чем интегралы). Но не в примере ТС --- вот здесь как раз интегралы бессмысленны (школьник их знать и не обязан). А простые методы сравнения --- полезно узнать. Тем более, что про интегралы ему в любом случае расскажут.