2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение19.09.2011, 22:15 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
$x^2+y^2+z^2=100!-100$
Решить в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение20.09.2011, 03:07 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
Вспомним критерий представления чисел суммой 3-х квадратов и сразу получим ответ. (Сам критерий весьма сложно доказывается целиком, но здесь нужна только его тривиальная часть.)

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение22.09.2011, 11:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
я скорее всего думаю, что Ксения придумала какой-то очень красивый ответ, т.к. ответов очень много.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение22.09.2011, 11:56 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
age в сообщении #485167 писал(а):
т.к. ответов очень много.
Т.е. много таких троек $(x,y,z)$ целых чисел, для которых $x^2+y^2+z^2=100!-100$?

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение22.09.2011, 18:04 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
Правая часть уравнения делится на 4.Сумма квадратов трех чисел делится на 4 только если все три числа четные.Сделав замену $x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1$ придем к уравнению $$x_1^2+y_1^2+z_1^2=25(99!-1) \qquad (1)$$Правая часть уравнения (1) нечетное число вида $8k-1$,а нечетная сумма квадратов трех чисел это число вида $8m+3$ или $4m+1$.Отсюда делаем вывод,что решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение23.09.2011, 10:53 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
age в сообщении #485167 писал(а):
я скорее всего думаю, что Ксения придумала какой-то очень красивый ответ, т.к. ответов очень много.

Красивый ответ заключается в том, что любое целое число, сравнимое с -4 по модулю 32, является непредставимым в виде суммы трёх квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение23.09.2011, 13:19 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #485171 писал(а):
age в сообщении #485167 писал(а):
т.к. ответов очень много.
Т.е. много таких троек $(x,y,z)$ целых чисел, для которых $x^2+y^2+z^2=100!-100$?
Четвёрок $(x,y,z$ и $100)$.

-- Пт сен 23, 2011 14:35:25 --

Xenia1996 в сообщении #485474 писал(а):
Красивый ответ заключается в том, что любое целое число, сравнимое с -4 по модулю 32, является непредставимым в виде суммы трёх квадратов.
Даже 28? Тогда ответ некрасивый. Но для вас пойдёт (как для школьницы), но пора бы уже что-то покрасивее придумывать. Уже год на форуме.

 !  АКМ:
age, предупреждение за переход на личности и искажение ников участников.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение23.09.2011, 16:55 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
nnosipov в сообщении #484347 писал(а):
Вспомним критерий представления чисел суммой 3-х квадратов и сразу получим ответ.
Вот этот критерий: натуральное число представимо суммой трёх квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда оно не представляется в виде $4^k(8l+7)$, где $k$, $l$ --- некоторые неотрицательные целые числа. Утверждение "только тогда" несложно доказать (см. выше сообщение mihiv), а вот утверждение "тогда" --- нетривиальный факт, впервые доказанный Гауссом.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение24.09.2011, 06:44 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Какое минимальное количество отличных от нуля квадратов нужно взять, чтобы представить их суммой число $100!-100$ (другими словами $99!-1$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение24.09.2011, 07:30 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
age в сообщении #485807 писал(а):
Какое минимальное количество отличных от нуля квадратов нужно взять, чтобы представить их суммой число $100!-100$ (другими словами $99!-1$)?

Очевидно 4.
Насчет "другими словами" - необязательно.

(подсказка)

теорема Лагранжа

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение24.09.2011, 18:21 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Sonic86 в сообщении #485813 писал(а):
Очевидно 4.
Насчет "другими словами" - необязательно.
Нет. Там могут быть и нули. А здесь отличных от нуля обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение24.09.2011, 18:31 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
age в сообщении #486044 писал(а):
Нет.
Да. Если бы там были нули, то тогда число $99!-1$ было бы суммой не более чем 3-х квадратов. Но это не так, как легко убедиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение24.09.2011, 19:43 
Заслуженный участник


08/04/08
8562

(Оффтоп)

age в сообщении #486044 писал(а):
Нет.

Рекомендуется прочесть хотя бы Бухштаба хотя бы для небольшого просветления.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение25.09.2011, 00:45 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
неплохо бы привести данные 4 квадрата. А то неубедительно.

-- Вс сен 25, 2011 01:53:42 --

nnosipov в сообщении #486049 писал(а):
age в сообщении #486044 писал(а):
Нет.
Да. Если бы там были нули, то тогда число $99!-1$ было бы суммой не более чем 3-х квадратов. Но это не так, как легко убедиться.
Вот. :!:

 Профиль  
                  
 
 Re: x^2+y^2+z^2=100!-100
Сообщение25.09.2011, 05:42 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
age в сообщении #486138 писал(а):
неплохо бы привести данные 4 квадрата. А то неубедительно.

$9250034115360411369447779978522455792830124317010984747670829032191705157961228^2+2786231201571880418331197250754540742138805756472972069908291516822484769453366^2+42^2+14^2=100!-100$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group