x^2+y^2+z^2=100!-100

[nnosipov]

age в сообщении #486138 писал(а):

А то неубедительно.

Только для Вас. Вам уже посоветовали почитать какой-нибудь учебник по элементарной теории чисел. Дельный совет.

[Sonic86]

age в сообщении #486138 писал(а):

неплохо бы привести данные 4 квадрата. А то неубедительно.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%BE%D0%B2

[Батороев]

nnosipov в сообщении #485571 писал(а):

nnosipov в сообщении #484347 писал(а):

Вспомним критерий представления чисел суммой 3-х квадратов и сразу получим ответ.

Вот этот критерий: натуральное число представимо суммой трёх квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда оно не представляется в виде $4^k(8l+7)$, где $k$, $l$ --- некоторые неотрицательные целые числа. Утверждение "только тогда" несложно доказать (см. выше сообщение mihiv), а вот утверждение "тогда" --- нетривиальный факт, впервые доказанный Гауссом.

Заранее извиняюсь за свою непонятливость, но для меня звучит, как ребус...
Если переписать в таком виде:
"натуральное число представимо суммой трёх квадратов целых чисел тогда, когда оно не представляется в виде $4^k(8l+7)$, где $k$, $l$ --- некоторые неотрицательные целые числа"
то получается, вроде как, необходимо доказать, что числа вида $4^k(8l+7)$ не могут быть представлены в виде суммы трех квадратов.

На мой взгляд то, что нельзя получить сумму остатков квадратов трех чисел по основанию $8$, равную $7$, легко доказать простым перебором остатков:
$7\ne 1+1+1\ne 1+1+4\ne 1+4+4\ne1+4+0\ne1+0+0\ne4+4+0 ...$

Или я не о том?

[nnosipov]

Батороев, Вы на правильном пути! Давайте я расшифрую этот ребус. Итак, вот критерий:
натуральное число представимо суммой трёх квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда оно не представляется в виде $4^k(8l+7)$, где $k$, $l$ --- некоторые неотрицательные целые числа.
Утверждение "только тогда" звучит так: натуральное число представимо суммой трёх квадратов целых чисел только тогда, когда оно не представляется в виде $4^k(8l+7)$. Т.е., другими словами, всякое число вида $4^k(8l+7)$ не может быть суммой 3-х квадратов целых чисел. И это утверждение действительно почти очевидно (как Вы правильно написали, достаточно просто перебрать возможные остатки от деления на 8; конечно, предварительно нужно грамотно избавиться от $4^k$, но это тоже пустяки).
Теперь об утверждении "тогда": натуральное число представимо суммой трёх квадратов целых чисел тогда, когда оно не представляется в виде $4^k(8l+7)$. Вот это утверждение уже очень трудно доказать. Но в нашей задаче про уравнение $x^2+y^2+z^2=100!-100$ оно и не нужно.

[age]

сколькими способами можно представить $100!-100$ суммой 4 квадратов?

[Батороев]

nnosipov
Теперь разобрался. Спасибо!