x^2+y^2+z^2=100!-100

[Xenia1996]

$x^2+y^2+z^2=100!-100$
Решить в целых числах.

[nnosipov]

Вспомним критерий представления чисел суммой 3-х квадратов и сразу получим ответ. (Сам критерий весьма сложно доказывается целиком, но здесь нужна только его тривиальная часть.)

[age]

я скорее всего думаю, что Ксения придумала какой-то очень красивый ответ, т.к. ответов очень много.

[nnosipov]

age в сообщении #485167 писал(а):

т.к. ответов очень много.

Т.е. много таких троек $(x,y,z)$ целых чисел, для которых $x^2+y^2+z^2=100!-100$?

[mihiv]

Правая часть уравнения делится на 4.Сумма квадратов трех чисел делится на 4 только если все три числа четные.Сделав замену $x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1$ придем к уравнению

$$x_1^2+y_1^2+z_1^2=25(99!-1) \qquad (1)$$

Правая часть уравнения (1) нечетное число вида $8k-1$,а нечетная сумма квадратов трех чисел это число вида $8m+3$ или $4m+1$.Отсюда делаем вывод,что решений нет.

[Xenia1996]

age в сообщении #485167 писал(а):

я скорее всего думаю, что Ксения придумала какой-то очень красивый ответ, т.к. ответов очень много.

Красивый ответ заключается в том, что любое целое число, сравнимое с -4 по модулю 32, является непредставимым в виде суммы трёх квадратов.

[age]

nnosipov в сообщении #485171 писал(а):

age в сообщении #485167 писал(а):

т.к. ответов очень много.

Т.е. много таких троек $(x,y,z)$ целых чисел, для которых $x^2+y^2+z^2=100!-100$?

Четвёрок $(x,y,z$ и $100)$.

-- Пт сен 23, 2011 14:35:25 --

Xenia1996 в сообщении #485474 писал(а):

Красивый ответ заключается в том, что любое целое число, сравнимое с -4 по модулю 32, является непредставимым в виде суммы трёх квадратов.

Даже 28? Тогда ответ некрасивый. Но для вас пойдёт (как для школьницы), но пора бы уже что-то покрасивее придумывать. Уже год на форуме.

АКМ:

age, предупреждение за переход на личности и искажение ников участников.

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #484347 писал(а):

Вспомним критерий представления чисел суммой 3-х квадратов и сразу получим ответ.

Вот этот критерий: натуральное число представимо суммой трёх квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда оно не представляется в виде $4^k(8l+7)$, где $k$, $l$ --- некоторые неотрицательные целые числа. Утверждение "только тогда" несложно доказать (см. выше сообщение mihiv), а вот утверждение "тогда" --- нетривиальный факт, впервые доказанный Гауссом.

[age]

Какое минимальное количество отличных от нуля квадратов нужно взять, чтобы представить их суммой число $100!-100$ (другими словами $99!-1$)?

[Sonic86]

age в сообщении #485807 писал(а):

Какое минимальное количество отличных от нуля квадратов нужно взять, чтобы представить их суммой число $100!-100$ (другими словами $99!-1$)?

Очевидно 4.
Насчет "другими словами" - необязательно.

(подсказка)

теорема Лагранжа

[age]

Sonic86 в сообщении #485813 писал(а):

Очевидно 4.
Насчет "другими словами" - необязательно.

Нет. Там могут быть и нули. А здесь отличных от нуля обязательно.

[nnosipov]

age в сообщении #486044 писал(а):

Нет.

Да. Если бы там были нули, то тогда число $99!-1$ было бы суммой не более чем 3-х квадратов. Но это не так, как легко убедиться.

[Sonic86]

(Оффтоп)

age в сообщении #486044 писал(а):

Нет.

Рекомендуется прочесть хотя бы Бухштаба хотя бы для небольшого просветления.

[age]

неплохо бы привести данные 4 квадрата. А то неубедительно.

-- Вс сен 25, 2011 01:53:42 --

nnosipov в сообщении #486049 писал(а):

age в сообщении #486044 писал(а):

Нет.

Да. Если бы там были нули, то тогда число $99!-1$ было бы суммой не более чем 3-х квадратов. Но это не так, как легко убедиться.

Вот.

[venco]

age в сообщении #486138 писал(а):

неплохо бы привести данные 4 квадрата. А то неубедительно.

$9250034115360411369447779978522455792830124317010984747670829032191705157961228^2+2786231201571880418331197250754540742138805756472972069908291516822484769453366^2+42^2+14^2=100!-100$