Анализ Фурье

[vlad_light]

вообщем, я понял, что задачка тупая))
Спасибо!

[profrotter]

vladiko в сообщении #484911 писал(а):

profrotter
Так те же... только в профиль.

Во втором интеграле образ Фурье от $sinc^3(t)$ можно представить ,как свёртка треугольного и прямоугольного импульсов в частотной области.Ну и потом уже $\omega=0$

Увы, нет! Зачем считать свёртку, когда ответ получается простой подстановкой нуля? Это далеко не то же самое. А во второй задаче надо посмотреть что такое B-сплайны и с чем их едят.

[vladiko]

profrotter
Как вы сами говорили что $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=\mathfrak F(f(t))\rvert_{\omega=0}$. Вы знаете более лёгкий способ нахождения преобразования Фурье функции $sinc^3(t)$ чем свёртка в частотной области?

[profrotter]

vladiko в сообщении #484981 писал(а):

profrotter
Как вы сами говорили что $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=\mathfrak F(f(t))\rvert_{\omega=0}$. Вы знаете более лёгкий способ нахождения преобразования Фурье функции $sinc^3(t)$ чем свёртка в частотной области?

Я вас прекрасно понимаю. Очень хочется вставить теорему о свёртке Но скажите тогда, почему в первой задаче вы не стали искать спектральную плотность $sinc(\pi t)$ (вот это ваше $\Pi(\frac {\omega} {2\pi})$ с потолка свалилось), а во второй вдруг хотите её найти? Спектр $sinc^3(t)$ описывается В-сплайном третьего порядка. Так что либо у вас есть таблица преобразования Фурье, либо нет. И я с вами соглашусь, когда вы в первой задаче сначала найдёте спектральную плотность, а потом уже будете её использовать. Знаете как найти?

-- Ср сен 21, 2011 23:20:20 --

И, кстати, без таблицы всё равно тяжело будет.

[vladiko]

Преобразование Фурье от функции $sinc(t)$ это очень распространённая штука в обработке сигналов( идеальный фильтр низких частот), поэтому я не думал что могут возникнуть вопросы как я это сделал. А найти его очень просто используя свойство симметрии преобразования Фурье ,а посчитать образ Фурье от прямоугольного импульса довольно тривиально.
Не будет. Не обязательно всё считать в лоб, существуют известные свойства .

[profrotter]

vladiko в сообщении #485032 писал(а):

Преобразование Фурье от функции $sinc(t)$ это очень распространённая штука в обработке сигналов( идеальный фильтр низких частот), поэтому я не думал что могут возникнуть вопросы как я это сделал. А найти его очень просто используя свойство симметрии преобразования Фурье ,а посчитать образ Фурье от прямоугольного импульса довольно тривиально.
Не будет. Не обязательно всё считать в лоб, существуют известные свойства .

Когда-то я учился в институте, и мне запомнился один преподаватель математики, который любил повторять: "Всякий интеграл, будучи решённым, становится табличным". Вот и здесь всё вроде выглядит красиво: использовали свойство вазимозаменяемости $\omega$ и $t$ в паре преобразований Фурье (ваше свойство симметрии) и считаем, что решали задачу. Между тем имело место лишь сведение задачи к предыдущей, ранее решённой - вам была известна пара $rect(\frac t {\tau})\leftrightarrow \tau sinc(\frac {\omega \tau} 2)$. А при определении спектра $sinc^3()$ вам не известна пара $B_n(t)\leftrightarrow sinc^n(\frac {\omega} 2)$ и ваш путь решения первой задачи вдруг оказался непригоден. Говорит это о том, что даже при нахождении спектра $sinc(\omega_m t)$ вы так или иначе пользовались таблицей преобразований Фурье, в которую, правда, забыли дописать пару $sinc(\omega_m t)\leftrightarrow \frac {\pi} {\omega_m}rect(\frac {\omega} {2\omega_m})$. Если бы не забыли - то решать было нечего.

vladiko в сообщении #484981 писал(а):

Вы знаете более лёгкий способ нахождения преобразования Фурье функции $sinc^3(t)$ чем свёртка в частотной области?

На более лёгкий способ я уже неоднократно указывал: следует ознакомится с B-сплайнами. Но это будет не способ нахождения, а по-сути, всё то же использование таблиц. А ваш подход со свёрткой тоже предполагает знание Фурье - пар для прямоугольного и треугольного импульса. То есть таблицы уже взяли в руки, что мешает взять те таблицы, где есть пара и для $sinc^3()$?
Поэтому дальше я буду говорить не о "лёгком способе нахождения", а о способе нахождения вообще. У преобразования Фурье есть замечательное свойство (на которое, кстати, выше указывал ewert):

$$t^n s(t)\leftrightarrow j^n \frac {d^nS(\omega)} {d\omega^n},$$

где $s(t)$ - сигнал, $S(\omega)$ - его спектральная плотность. В качестве примера найдём спектральную плотность сигнала $s(t)=sinc^2(t)$ (дабы оставить автору темы возможность решать заявленные задачи по аналогии самостоятельно):

$$t^2 sinc^2(t)\leftrightarrow - \frac {d^2S(\omega)} {d\omega^2},$$

$$\sin^2(t)\leftrightarrow - \frac {d^2S(\omega)} {d\omega^2}.\eqno (1)$$

С другой стороны, так как:

$$\sin^2(t)=\frac 1 2 - \frac 1 2 \cos(2t),$$

$$\frac 1 2 \leftrightarrow \pi \delta(\omega),\eqno (2)$$

$$\cos(2t)=\frac{e^{2jt}+e^{-2jt}} 2 \leftrightarrow \pi(\delta(\omega-2)+\delta(\omega+2)),\eqno (3)$$

((2-3) записаны на основании $e^{j\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi \delta(\omega-\omega_0)$) ,то

$$\sin^2(t) \leftrightarrow\pi(- \frac 1 2 \delta(\omega+2)+\delta(\omega)- \frac 1 2 \delta(\omega-2)).\eqno (4)$$

Сравнивая (1) и (4), для искомой спектральной плотности запишем:

$$\frac {d^2S(\omega)} {d\omega^2}=\pi(\frac 1 2 \delta(\omega+2)-\delta(\omega)+\frac 1 2 \delta(\omega-2)).$$

Далее после первого интегрирования, с учётом того, что первообразной для функции Дирака является функция Хевисайда:

$$\frac {dS(\omega)} {d\omega}=\pi(\frac 1 2 \sigma(\omega+2)-\sigma(\omega)+\frac 1 2 \sigma(\omega-2)).$$

После второго интегрирования:

$$S(\omega)=\pi(\frac 1 2 (\omega+2)\sigma(\omega+2)-\omega\sigma(\omega)+\frac 1 2 (\omega-2)\sigma(\omega-2)).$$

Вот, собственно, и она - треугольная функция. Для меня лично проделанный путь (хоть он и кажется громоздким) гораздо легче, чем возня со свёрткой.