2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение численной погрешности.
Сообщение11.01.2007, 18:50 


09/01/07
11
Ребята, выручайте! До завтрашнего утра нам преподаватель дал задание:

Есть дифф. ур. $\frac {dy}{dx}$ = $\frac {cos y}{x + 2} - 0.3y^2$ с начальным условием $y(0) = 0$. Нужно численным методом решить данное уравнение и его же (!) проинтегрировать \int\limits_{a}^{b} f(x)dx, где интервал $[a; b]$ = $[0; 1]$. Основная задача включает:
  • Доказать, что интеграл получен правильно
  • Доказать, что интеграл вычислен с погрешностью $\delta \leqslant 1$% (самое приоритетное)
Доказательство должно проводиться с помощью численных методов.

Upd:
Цитата:
Нужно найти численное решение данного дифференциального уравнения, после чего используя полученный набор x'ов и y'ов (которые задают ответ) проинтегрировать на вышеуказанном отрезке.


Допустимые операции: $[$ $+, -, *, /$ $]$. И начальные точные значения. Т.е. функцию cos() придется интерполировать. Рекоммендуется использовать уточнения по Рунге-Ромбергу и процесс Эйткина в процессе решения задачи.

Как я буду решать:
  • Найду интерполяционный многочлен cos() (а это, кстати, тоже вопрос; смотрю в сторону Лагранжа)
  • Методом Рунге-Кутты найду численное решение уравнения на данном промежутке с шагом h
  • Воспользуюсь формулой трапеции с все тем же шагом h для интегрирования функции на отрезке (по полученным точкам). Получу число.

Абсолютно не понятно, как вычислить его с заданной точностью, и как ее доказать. Очень нужна ваша помощь! Единственное, что приходит на ум, это найти три разных решения на сетках h, qh, $q^2$h и использовать значения интеграла для уточнения по Рунге. После чего найти погрешность примерно таким способом: . Но мне не кажется это правильным вариантом.

Очень нужно! Спасибо.

Курс: численные методы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2007, 22:00 


09/01/07
11
Ребята, не хочу наглеть, но действительно интересует ваши комментарии о моем варианте решении задачи. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2007, 22:46 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
 !  нг:
magicmount,
форум — это форум, а не chat. Здесь нельзя ожидать ответа в тот же день и час. Многие участники заходят раз в день, раз в неделю. Понимаю Вашу нужду, Ваше нетерпение, но: Ваше сообщение расценивается как «подъем темы» и, соответственно, нарушение правил (I.1.м).


На всякий случай: подтвердите, пожалуйста: $\int_{a}^{b} y(x) {\rm d} x$, или Вы имеете в виду две совершенно несвязанные задачи: решение дифура и взятие интеграла?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2007, 22:54 


09/01/07
11
нг
Нужно найти численное решение данного дифференциального уравнения, после чего используя полученный набор x'ов и y'ов (которые задают ответ) проинтегрировать на вышеуказанном отрезке.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.01.2007, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
magicmount писал(а):
Найду интерполяционный многочлен cos() (а это, кстати, тоже вопрос; смотрю в сторону Лагранжа)

Не тратьте время зря, возьмите разложение в ряд Тейлора — оно сходится очень быстро и удобно считается. При первых пяти членах (до $O(x^9)$ погрешность на интервале $(0,1)$ меньше $2.8 \times 10^{-7}$.

И еще — погрешность знакочередуется: взяв дополнительный член ряда, Вы получите диапазон значения косинуса.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.01.2007, 00:35 


09/01/07
11
незваный гость
Да, спасибо. Мы уже пришли к этому решению.


Тут к нам начала закрадываться гипотеза, что эта куча вычислений с накоплением погрешности есть самый сложный путь. Тут явно, что-то завязано на теории интегрирования, imho. Кто силен в теоритической части, не мог бы подсказать общую идею решения?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.01.2007, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
К оценке точности интегрирования: точность формулы трапеций выражается через производную, формулы Стирлинга — через вторую производную. И ту, и другую легко получить из дифференциального уравнения. Получается, что имея дифур, и интегрируя его решение, Вы получаете почти бесплатную оценку точности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.01.2007, 00:55 


09/01/07
11
незваный гость писал(а):
:evil:
К оценке точности интегрирования: точность формулы трапеций выражается через производную, формулы Стирлинга

Не сочтите за наглость, а существует ли вариант решения без использования вышеуказанной формулы? Причина проста: у нас такая формула, как-таковая, вообще отсутствовала в курсе численных методов и мат. анализа.


Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group