Определение численной погрешности.

[magicmount]

Ребята, выручайте! До завтрашнего утра нам преподаватель дал задание:

Есть дифф. ур. $\frac {dy}{dx}$ = $\frac {cos y}{x + 2} - 0.3y^2$ с начальным условием $y(0) = 0$. Нужно численным методом решить данное уравнение и его же (!) проинтегрировать \int\limits_{a}^{b} f(x)dx, где интервал $[a; b]$ = $[0; 1]$. Основная задача включает:

• Доказать, что интеграл получен правильно
  
• Доказать, что интеграл вычислен с погрешностью $\delta \leqslant 1$% (самое приоритетное)

Доказательство должно проводиться с помощью численных методов.

Upd:

Цитата:

Нужно найти численное решение данного дифференциального уравнения, после чего используя полученный набор x'ов и y'ов (которые задают ответ) проинтегрировать на вышеуказанном отрезке.

Допустимые операции: $[$ $+, -, *, /$ $]$. И начальные точные значения. Т.е. функцию cos() придется интерполировать. Рекоммендуется использовать уточнения по Рунге-Ромбергу и процесс Эйткина в процессе решения задачи.

Как я буду решать:

• Найду интерполяционный многочлен cos() (а это, кстати, тоже вопрос; смотрю в сторону Лагранжа)
  
• Методом Рунге-Кутты найду численное решение уравнения на данном промежутке с шагом h
  
• Воспользуюсь формулой трапеции с все тем же шагом h для интегрирования функции на отрезке (по полученным точкам). Получу число.

Абсолютно не понятно, как вычислить его с заданной точностью, и как ее доказать. Очень нужна ваша помощь! Единственное, что приходит на ум, это найти три разных решения на сетках h, qh, $q^2$h и использовать значения интеграла для уточнения по Рунге. После чего найти погрешность примерно таким способом: . Но мне не кажется это правильным вариантом.

Очень нужно! Спасибо.

Курс: численные методы.

[magicmount]

Ребята, не хочу наглеть, но действительно интересует ваши комментарии о моем варианте решении задачи. Спасибо.

[нг]

нг:

magicmount,
форум — это форум, а не chat. Здесь нельзя ожидать ответа в тот же день и час. Многие участники заходят раз в день, раз в неделю. Понимаю Вашу нужду, Ваше нетерпение, но: Ваше сообщение расценивается как «подъем темы» и, соответственно, нарушение правил (I.1.м).

На всякий случай: подтвердите, пожалуйста: $\int_{a}^{b} y(x) {\rm d} x$, или Вы имеете в виду две совершенно несвязанные задачи: решение дифура и взятие интеграла?

[magicmount]

нг
Нужно найти численное решение данного дифференциального уравнения, после чего используя полученный набор x'ов и y'ов (которые задают ответ) проинтегрировать на вышеуказанном отрезке.

[незваный гость]

magicmount писал(а):

Найду интерполяционный многочлен cos() (а это, кстати, тоже вопрос; смотрю в сторону Лагранжа)

Не тратьте время зря, возьмите разложение в ряд Тейлора — оно сходится очень быстро и удобно считается. При первых пяти членах (до $O(x^9)$ погрешность на интервале $(0,1)$ меньше $2.8 \times 10^{-7}$.

И еще — погрешность знакочередуется: взяв дополнительный член ряда, Вы получите диапазон значения косинуса.

[magicmount]

незваный гость
Да, спасибо. Мы уже пришли к этому решению.


Тут к нам начала закрадываться гипотеза, что эта куча вычислений с накоплением погрешности есть самый сложный путь. Тут явно, что-то завязано на теории интегрирования, imho. Кто силен в теоритической части, не мог бы подсказать общую идею решения?

Спасибо.

[незваный гость]

К оценке точности интегрирования: точность формулы трапеций выражается через производную, формулы Стирлинга — через вторую производную. И ту, и другую легко получить из дифференциального уравнения. Получается, что имея дифур, и интегрируя его решение, Вы получаете почти бесплатную оценку точности.

[magicmount]

незваный гость писал(а):

:evil:
К оценке точности интегрирования: точность формулы трапеций выражается через производную, формулы Стирлинга

Не сочтите за наглость, а существует ли вариант решения без использования вышеуказанной формулы? Причина проста: у нас такая формула, как-таковая, вообще отсутствовала в курсе численных методов и мат. анализа.


Спасибо.