Грани гиперкуба

[serval]

Пожалуйста, помогите разобраться.
Пусть имеется куб построенный на ортах. Мы легко можем сгруппировать его вершины по принадлежности граням:

$(0,0,0),\ (0,0,1),\ (0,1,1),(0,1,0)$
$(0,0,0),\ (0,0,1),\ (1,0,1),(1,0,0)$
$(0,0,0),\ (1,0,0),\ (1,1,0),(0,1,0)$
$(1,1,1),\ (1,0,1),\ (1,0,0),(1,1,0)$
$(1,1,1),\ (1,1,0),\ (0,1,0),(0,1,1)$
$(1,1,1),\ (1,1,0),\ (0,1,0),(0,1,1)$

Как сделать то же самое для $3$-мерных вершин $N$-мерного куба?

[ewert]

serval в сообщении #483696 писал(а):

для $3$-мерных вершин

Что такое "$3$-мерная вершина"??? Вершина -- она и есть вершина. Т.е. точка, и точка.

[serval]

Число $m$-мерных граней $N$-мерного гиперкуба равно $K(N,m)=2^{N-m}\ C^m_N$
Меня интересуют вершины имеющие лишь $3$ ненулевых координаты. Как их сгруппировать по принадлежности граням?

[cyb12]

serval в сообщении #483714 писал(а):

Меня интересуют вершины имеющие лишь $3$ ненулевых координаты. Как их сгруппировать по принадлежности граням?

Вершины, имеющие три ненулевые координаты - это так называемый третий слой. Объединить их можно только в нульмерные грани, так как одномерные не получится в силу того, что соответствующие вершины не соседние (соседние - те, которые отличаются в одной координате), а (больше,чем одно)мерные не получится по причине необходимости брать в эти грани вершины другого слоя, то есть содержащие больше или меньше нулевых координат.

[serval]

Цитата:

соответствующие вершины не соседние

Отлично. Я только сегодня это увидел додумавшись посмотреть на вершины обычного куба имеющие лишь $2$ ненулевые координаты. Большое спасибо, над обобщением на $N$ измерений я думал бы еще долго.
Очень хорошо, что эти вершины не соседние.
А есть ли способ сгруппировать их по принадлежности плоскостям проходящим через вершину все координаты которой равны $0$ ?
Аналог в обычном кубе - плоскости:

$\{(0,0,0),\ (1,1,0),\ (0,1,1)\}$
$\{(0,0,0),\ (1,1,0),\ (1,0,1)\}$
$\{(0,0,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)\}$

которые (если не ошибаюсь) можно совместить поворотом.

[ИСН]

А толку? Ну, будут каждые две из них лежать на какой-то такой плоскости. Это банальный геометрический факт.

[serval]

Цитата:

Ну, будут каждые две из них лежать на какой-то такой плоскости. Это банальный геометрический факт.

В случае $N$ измерений в каждой гиперплоскости будут лежать уже не две. И как они распределятся по этим плоскостям - факт вовсе не банальный.

[ИСН]

В плоскости две. В гиперплоскостях размерностей 3 и более - там, конечно, больше. А как распределятся? - ну смотря какая размерность, но в общем что тут небанального?
Минуточку, Вас всё ещё интересуют именно те гиперплоскости, которые проходят через начало координат?

[serval]

Цитата:

А как распределятся? - ну смотря какая размерность

Меня интересует правило не зависящее от размерности.

Цитата:

Вас всё ещё интересуют именно те гиперплоскости, которые проходят через начало координат?

Да. Меня интересуют гиперплоскости проходящие через начало координат и какие-либо $N-1$ указанных вершин.

Сколько всего будет таких вершин понятно - их будет число сочетаний из $N$ по $3$. Сколько буде гиперплоскостей тоже понятно - их будет число сочетаний из $N$ по $N-1$. (Я ничего не напутал?)
А как распределить вершины по плоскостям - вот вопрос. Очень жду подсказок.

[INGELRII]

Мм, а что тут такого сложного-то? Вершины принадлежат одной грани, если у них некая выделенная координата - одна и та же. Соответственно, фиксируете скажем первую, и перебираете все комбинации вида $(0, *, *, ... ,*)$ (звездочка не как символ умножения, а как любое число, то есть нолик или единичка). Вам нужны такие комбинации, в которых встречается ровно три единицы - их и перебираете. Получаете полный список вершин, принадлежащих грани с первой координатой 0. Затем перебираете комбинации $(*, 0, *, ... ,*)$ . Ну и вперед, в светлое будущее, по аналогии...

Эту операцию и компутеру можно поручить, программа несложной будет.

[serval]

Цитата:

Вершины принадлежат одной грани

Так уже выяснили, что никакие из двух таких вершин не будут принадлежать одной грани.
Разговор уже про плоскости проходящие через начало координат и содержащие $N-1$ таких вершин.

[INGELRII]

Помилосердствуйте! 5-мерный гиперкуб. Вершины (0,1,1,1,0) и (0,0,1,1,1). Вашему условию удовлетворяют. Одной и той же грани принадлежат (причем даже нескольким граням одновременно). Что же еще нужно для счастья?!

[serval]

Цитата:

Одной и той же грани принадлежат

А как же это?

Цитата:

Вершины, имеющие три ненулевые координаты - это так называемый третий слой. Объединить их можно только в нульмерные грани, так как одномерные не получится

Значит, я не понял. Пожалуйста, объясните.

Цитата:

Одной и той же грани принадлежат

Кстати, а каков признак их принадлежности одной грани?

[arseniiv]

INGELRII в сообщении #484920 писал(а):

Вершины принадлежат одной грани, если у них некая выделенная координата - одна и та же.

[serval]

А кто из двоих не прав?