Помогите разобраться с произвольными системами отсчета в СТО

[Fagot]

epros в сообщении #484483 писал(а):

А вот "сшитое" решение как раз не обладает - в виду единственности аналитического продолжения.

Конечно, склейка не является аналитическим продолжением. Аналитически можно попасть только на сингулярность.

epros в сообщении #484483 писал(а):

Причём тут какая-то статическая поверхность?

При том, что внутреннее решение ею обладает.

epros в сообщении #484483 писал(а):

А для этого нужно продемонстрировать, что:
1) Символы Кристоффеля непрерывны.
2) Электромагнитные напряжённости непрерывны.

Это элементарно : напряженность поля - корень квадратный из плотности энергии электромагнитного поля. Последняя же - же - это $G^1_1$. А её непрерывность обеспечивается.

epros в сообщении #484483 писал(а):

Запредельное решение Райсснера-Нордстрёма, которое Вы собрались резать, на любом расстоянии от центра (кроме нулевого) характеризуется конечным электромагнитным полем.

То есть в нуле у него - особенность. Внутреннее решение устраняет эту особенность, трансформируя точку в незакрывающуюся горловину. Не понятно, почему это непонятно.

epros в сообщении #484483 писал(а):

я мог бы продемонстрировать, как к Райсснеру Нордстрёму пришивается пространство Минковского

Мне кажется, что плоское пространство если и можно пришить к пространству Рейсснера - Нордстрема, то только в точке $r=\dfrac{e^2}{2m_0c^2}$, и не обычно, а "трансверсально".

epros в сообщении #484483 писал(а):

Есть несколько точек зрения на то, считать ли все эти ипостаси "одним тензором" или "разными тензорами". Более математически строгая: это разные тензоры.

С этим согласен, конечно же.

epros в сообщении #484483 писал(а):

Объясните же в своём "неньютоновском" подходе, как в случае образования планеты из пыли эта пыль узнаёт когда ей уже пора переставать быть пылью и становиться планетой? Какие же именно гравитационные поля и искривления пространства-времени ей это подсказывают?

Извините, не понимаю такие слова "когда узнает", ... - надо задать соответствующее уравнение состояния, а дальше что получится, то и получится.

epros в сообщении #484483 писал(а):

Моё объяснение Вы слышали: это происходит, когда пылинки плотно прилегают друг к другу.

Пыль - это поле. Там нет пылинок. Просто это модель идеальной жидкости без хаотического движения : $p=nKT$, $T=0$, следовательно и $p=0$. Это пыль.

[epros]

Fagot в сообщении #484489 писал(а):

При том, что внутреннее решение ею обладает.

А при чём тут "внутреннее решение", если мы говорили про то, в каком месте нужно резать Райсснера-Нордстрёма?

Fagot в сообщении #484489 писал(а):

напряженность поля - корень квадратный из плотности энергии электромагнитного поля. Последняя же - же - это $G^1_1$. А её непрерывность обеспечивается

Т.е. Вы утверждаете, что снаружи при подходе к шву электромагнитные напряжённости стремятся к нулю? А если проинтегрировать их поток по сфере, то мы получим нуль, т.е. заряд куда-то испарился?

Fagot в сообщении #484489 писал(а):

То есть в нуле у него - особенность. Внутреннее решение устраняет эту особенность, трансформируя точку в незакрывающуюся горловину. Не понятно, почему это непонятно.

Давайте пока не будем про внутреннее решение. Запредельное решение Райсснера-Нордстрёма там, где Вы собрались его резать, т.е. на конечных расстояниях от центра, не имеет особенностей. Отсюда вопрос: почему Вы режете решение в том месте, где нет никаких особенностей, вместо того, чтобы аналитически продолжать его дальше?

Давайте я не поленюсь и выпишу метрику Райсснера-Нордстрёма:
$ds^2 = - (1 - \frac{r_g}{r} + \frac{{r_e}^2}{r^2}) dt^2 + (1 - \frac{r_g}{r} + \frac{{r_e}^2}{r^2})^{-1} dr^2$
Для запредельного решения имеем: $r_g < 2 r_e$. Несложными арифметическими выкладками можно продемонстрировать, что при любом положительном $r$ выражение в скобках - положительно. Стало быть, нигде кроме центра у нас нет не только особенностей метрики, но и никаких особенностей данной (статической) системы координат.

Нафига его нужно резать, я не понимаю?

Fagot в сообщении #484489 писал(а):

и не обычно, а "трансверсально".

Переведите плизз...

Fagot в сообщении #484489 писал(а):

Извините, не понимаю такие слова "когда узнает", ... - надо задать соответствующее уравнение состояния, а дальше что получится, то и получится.

Вы утверждали, что свойства материи (пыль она или не пыль) определяются гравитацией и/или кривизной пространства-времени. Объясняйте КАК ИМЕННО определяются: Что именно в гравитации или в кривизне пространства-времени превращает пыль в планету.

Fagot в сообщении #484489 писал(а):

Пыль - это поле. Там нет пылинок. Просто это модель идеальной жидкости без хаотического движения

Неверно. Идеальная жидкость - это материя, отвечающая на попытки сжатия бесконечными давлениями, т.е. несжимаемая. Естественно, таковой в природе не бывает. Пыль - это наоборот - материя без давлений. Больше про неё ОТО ничего не знает: каков там размер пылинок и средние расстояния между ними - для ОТО это без разницы: в отдельные пылинки мы не вникаем, но они в реальности всё же ЕСТЬ.

[Fagot]

epros в сообщении #484514 писал(а):

Неверно. Идеальная жидкость - это материя, отвечающая на попытки сжатия бесконечными давлениями, т.е. несжимаемая.

Это дело вкуса, как определять идеальность. Обычно под идеальной жидкостью понимают ту, в которой отсутствует вязкость, т.е. касательные компоненты в тензоре напряжений. Её уравнение состояния $p=nKT$. Несжимаемая жидкость - частный случай идеальной, у которой дивергенция скорости равна нулю.

epros в сообщении #484514 писал(а):

Что именно в гравитации или в кривизне пространства-времени превращает пыль в планету.

Не знаю. Это Ваша картина. Мы же вроде согласились, что формирование планет может происходить в слабом поле, в котором эффекты кривизны малы. Другое дело, очевидно, коллапс остывшей звезды в центр ...

epros в сообщении #484514 писал(а):

Переведите плизз...

Трансверсально, значит, типа нет касания по 3-гиперповерхности. Но это - предположение всего лишь.

epros в сообщении #484514 писал(а):

Нифига его нужно резать, я не понимаю?

Чтобы продолжить его не в сингулярность, а во внутреннее пространство заряда через горловину, у которой радиус гауссовой кривизны определен - он равен классическому.

epros в сообщении #484514 писал(а):

.е. Вы утверждаете, что снаружи при подходе к шву электромагнитные напряжённости стремятся к нулю? А если проинтегрировать их поток по сфере, то мы получим нуль, т.е. заряд куда-то испарился?

Нет, ни в коем случае. На горловине наоборот, напряженность поля достигает максимума, затем спадает обратно пропорционально квадрату радиуса гауссовой кривизны как при удалении от нее внутрь заряда, так и при удалении в "электровакуум" Рейсснера - Нордстрема. И с теоремой Гаусса - Остроградского все в порядке : интегрирование потока напряженности электрического поля по любой замкнутой поверхности как во внешнем, так и во внутреннем мире даст величину фундаментального заряда/

[epros]

Fagot в сообщении #484606 писал(а):

Обычно под идеальной жидкостью понимают ...

Как бы то ни было, пыль - не жидкость. И состоит она из пылинок, в размеры и расстояния между которыми мы не вникаем, полагая их малыми.

Fagot в сообщении #484606 писал(а):

Не знаю. Это Ваша картина. Мы же вроде согласились, что формирование планет может происходить в слабом поле, в котором эффекты кривизны малы. Другое дело, очевидно, коллапс остывшей звезды в центр ...

Нет, это Ваша картина. Это Вы утверждали:

Fagot в сообщении #484469 писал(а):

свойства тяготеющей материи определяются искривлением пространства, то есть, гравитационным полем

Сила поля в данном случае совершенно ни при чём. В слабом поле просто легче провести расчёт: можно воспользоваться Ньютоновским приближением - это я Вам задачу облегчаю. Коллапс остывшей звезды - это не "другое дело". Качественно там всё то же самое - внутренние давления перестают быть достаточными для сдерживания гравитационного сжатия, т.е. материя из состояния близкого к твёрдому телу переходит в состояние близкое к пыли. Получается, что так же как и в случае с образованием планеты нужно объяснять переход материи из одного состояния в другое.

Вы обещали объяснить всё это из "искривлений пространства, то есть, гравитационного поля", вот и валяйте, объясняйте.

Fagot в сообщении #484606 писал(а):

Трансверсально, значит, типа нет касания по 3-гиперповерхности.

Какой именно 3-гиперповерхности?

Fagot в сообщении #484606 писал(а):

Чтобы продолжить его не в сингулярность, а во внутреннее пространство заряда через горловину, у которой радиус гауссовой кривизны определен - он равен классическому.

Чтобы продолжить решение не в сингулярность, нужно всего лишь вытащить из центра заряд и массу и распределить их по какой-либо области. Например - по сфере. Я же Вам предлагал вариант - пришить к Райсснеру-Нордстрёму внутри некой сферы радиуса $R$ пространство Минковского. В итоге как раз и получится решение не с сингулярным зарядом, а с распределённым по сфере.

Fagot в сообщении #484606 писал(а):

И с теоремой Гаусса - Остроградского все в порядке : интегрирование потока напряженности электрического поля по любой замкнутой поверхности как во внешнем, так и во внутреннем мире даст величину фундаментального заряда

Я что-то не понял. Внутри же у Вас вроде одна пыль? Но электромагнитное поле всё равно есть? И поток по замкнутой поверхности тоже есть? Но заряда при этом нигде нет?

[Fagot]

epros в сообщении #484719 писал(а):

Я что-то не понял. Внутри же у Вас вроде одна пыль? Но электромагнитное поле всё равно есть? И поток по замкнутой поверхности тоже есть? Но заряда при этом нигде нет?

Вы, выходит, не понимаете. Давайте прежде всего выясним этот вопрос. Скажите, а что по-Вашему из себя представляет "электрический заряд"?

[epros]

Fagot в сообщении #484744 писал(а):

Вы, выходит, не понимаете. Давайте прежде всего выясним этот вопрос. Скажите, а что по-Вашему из себя представляет "электрический заряд"?

К чему эта философия? Разве нельзя было просто ответить "да" или "нет"?

Я прекрасно понимаю, что электрический заряд связан с дивергенцией электрического поля. И я прекрасно понял Вашу идею "увести" бездивергентный поток электрического поля через узкую горловину в "другое пространство", так что из нашего пространства мы будем воспринимать горловину как имеющую суммарный заряд $+e$, а из "другого пространства" она будет восприниматься как имеющая заряд $-e$. В этом нет ничего нового: К решению с центральным электрическим полем практически по любой сфере можно пришить симметричное к нему решение.

Вопрос в другом: Похоже, что Вы не понимаете, что никакие сшивки не даются бесплатно. Поэтому Вам нужно очень аккуратно описать что у Вас находится на шве. Потому что если Вы скажете, что там ничего нет, то, извините, я Вам не поверю: Если на шве нет никаких особенностей, то это означает, что с другой стороны пришито не что иное, как аналитическое продолжение того же решения, т.е. тот же самый Райсснер-Нордстрём.

[Fagot]

epros в сообщении #484748 писал(а):

К чему эта философия? Разве нельзя было просто ответить "да" или "нет"?

Я прекрасно понимаю, что электрический заряд связан с дивергенцией электрического поля. И я прекрасно понял Вашу идею "увести" бездивергентный поток электрического поля через узкую горловину в "другое пространство", так что из нашего пространства мы будем воспринимать горловину как имеющую суммарный заряд $+e$, а из "другого пространства" она будет восприниматься как имеющая заряд $-e$. В этом нет ничего нового: К решению с центральным электрическим полем практически по любой сфере можно пришить симметричное к нему решение.

Ответить просто так было нельзя просто потому, что Вы задали замечательный вопрос :

epros в сообщении #484719 писал(а):

Я что-то не понял. Внутри же у Вас вроде одна пыль? Но электромагнитное поле всё равно есть? И поток по замкнутой поверхности тоже есть? Но заряда при этом нигде нет?

. Этот вопрос все задавали еще со времени публикации идеи Уилера, где он рисовал выходящую из поверхности "ручку", которая своим другим концом входила в ту же поверхность в другом месте, и рисовал на поверхности силовые линии электрического поля, расходившиеся от одного конца "ручки" (положительного заряда) и сходившиеся к ее другому концу (отрицательному заряду). Вот с тех пор все, обычно понимая под зарядом что-то более внушительное, чем какая-то "ручка", и называли эту идею "заряд без заряда". Наверно, поэтому и Вы спросили "а где заряд-то?". "Его ведь нигде нет?"

Поэтому я просто был вынужден спросить Вас, а что же Вы понимаете под зарядом. На самом деле оказалось все просто - Уилер был прав в своей идее, она подтвердилась решением уравнений ОТО. При этом удалось лишь уточнить детали :
- заряд - это не ручка, а горловина в пространстве-времени. Формально - это константа - первый интеграл уравнений Эйнштейна - Максвелла, возникающий при их решении, она отсутствовала в самой формулировке теории,
- внутреннее пространство этой горловины заполнено "незаряженным", то есть обычным веществом, для простоты - пылью и нестатично : либо периодически меняется во времени и в пространстве, то расширяясь, то сжимаясь в полузакрытом варианте решения (при этом радиус горловин остается постоянным), либо гиперболически монотонно расширяясь (полуоткрытый вариант решения),
- второй заряд противоположного знака (вторая горловина) находится не в этом же пространстве, а выходит в параллельное пространство (антимир, грубо говоря),
- радиус горловин всегда равен классическому радиусу (понятен становится его физический смысл).

-- Ср сен 21, 2011 13:02:36 --

epros в сообщении #484748 писал(а):

Если на шве нет никаких особенностей

Почему нет, есть , но они - не геометрические, не физические, а координатные : определитель метрического тензора на горловине обращается в ноль в сопутствующей пыли системе отсчета. Это означает, что на самой горловине сферическая система координат вырождается : радиальные длины на ней стремятся к нулю. Но все физические и геометрические параметры на ней - конечны.

-- Ср сен 21, 2011 13:06:20 --

epros в сообщении #484719 писал(а):

Какой именно 3-гиперповерхности?

Ортогональной координате $x^0$.

[epros]

Fagot в сообщении #484764 писал(а):

- внутреннее пространство этой горловины заполнено "незаряженным", то есть обычным веществом, для простоты - пылью и нестатично

Я сильно удивлюсь, если Вам удастся без проблем пришить нестатическое решение к статическому, каковым является Райсснер-Нордстрём.

Fagot в сообщении #484764 писал(а):

- радиус горловин всегда равен классическому радиусу (понятен становится его физический смысл).

Никакой физический смысл мне понятен пока не стал, поскольку в Райсснере-Нордстрёме можно пришиться к любому радиусу.

Давайте ещё раз посмотрим на метрику:

epros в сообщении #484514 писал(а):

$ds^2 = - (1 - \frac{r_g}{r} + \frac{{r_e}^2}{r^2}) dt^2 + (1 - \frac{r_g}{r} + \frac{{r_e}^2}{r^2})^{-1} dr^2$
Для запредельного решения имеем: $r_g < 2 r_e$.

К какому именно радиусу Вы собрались пришиваться? $r_g$? $r_e$? $\frac{{r_e}^2}{r_g}$? $\frac{2 {r_e}^2}{r_g}$?

Fagot в сообщении #484764 писал(а):

определитель метрического тензора на горловине обращается в ноль в сопутствующей пыли системе отсчета

Вы опять какие-то странные вещи говорите. Определитель метрического тензора - это скалярная плотность (точнее - корень из него таков). На стороне Райсснера-Нордстрёма он точно ни в какой нуль обращаться не может (для запредельного решения). Если он вдруг обращается в нуль на стороне пришитого Вами решения, значит на шве имеет место РАЗРЫВ метрики, что вообще нонсенс. Рассуждать в такой ситуации об отсутствии "физических" особенностей просто бессмысленно.

Давайте уже заканчивать с философскими разглагольствованиями и переходить к конкретным объяснениям:
1) Величина радиуса поверхности сшивки (в терминах $r_g$ и $r_e$)?
2) Формула метрики с внутренней стороны у поверхности сшивки?

И всё же настоятельно прошу Вас разъяснить Ваши слова про то, что "свойства тяготеющей материи определяются гравитацией" на примере образования планеты (или начала коллапса остывшей звезды, если Вам так больше нравится).

[Fagot]

epros в сообщении #484778 писал(а):

Я сильно удивлюсь, если Вам удастся без проблем пришить нестатическое решение к статическому, каковым является Райсснер-Нордстрём.

Наверно, Вы не обратили внимание, что решение нестатическое, а горловина у него - статическая. Поэтому пришить к Рейсснеру - Нордстрему можно.

epros в сообщении #484778 писал(а):

Никакой физический смысл мне понятен пока не стал, поскольку в Райсснере-Нордстрёме можно пришиться к любому радиусу.

В данном случае Рейсснер - Нордстем не при чем : в классике, то есть в СТО, все элементарные частицы - точечные в принципе. Поэтому классический радиус считался просто размерной константой, комбинацией фундаментальных констант - длиной, на которой энергия покоя заряда равна энергии его электростатического поля : $m_0c^2=\dfrac{e^2}{r_0}$, откуда $r_0=\dfrac{e^2}{m_0c^2}$. В данном решении он получил строгий геометрический, а значит, физический смысл : это действительно радиус заряда - радиус гауссовой кривизны статической горловины в пространстве-времени его внутреннего мира. А уж что к ней пришивать, и надо ли вообще пришивать (вакуум). это уже вопрос второй.

epros в сообщении #484778 писал(а):

К какому именно радиусу Вы собрались пришиваться? $r_g$? $r_e$? $\dfrac{{r_e}^2}{r_g}$?$\dfrac{2 {r_e}^2}{r_g}$?

К последнему - $\dfrac{2 {r_e}^2}{r_g}$

-- Ср сен 21, 2011 15:21:21 --

Fagot в сообщении #484811 писал(а):

Если он вдруг обращается в нуль на стороне пришитого Вами решения, значит на шве имеет место РАЗРЫВ метрики, что вообще нонсенс. Рассуждать в такой ситуации об отсутствии "физических" особенностей просто бессмысленно.

Во-первых, непонятно откуда следует, что если определитель метрики в какой-то точке (на 3-поверхности) обращается в ноль, то обязательно должны присутствовать физические особенности? Вот, в данном случае да, центральносимметричная метрика на горловине вырождается. Но это - лишь недостаток этой системы координат и больше ничего : ещё раз повторяю : все геометрические инварианты, все физические величины : плотность пыли, напряженность электрического поля, радиус горловины, - на ней конечны.

Что касается сшивки с вакуумным решением Рейсснера - Нордстрема, то последнее лучше всего преобразовать из координат кривизн, в которых Вы привели его метрику, к другим координатам, в которых $g_{11}\ne -{x^1}^2=-r^2$.

[epros]

Fagot в сообщении #484811 писал(а):

К последнему - $\dfrac{2 {r_e}^2}{r_g}$

ОК, в этом есть "физический смысл", я скажу какой: В Райсснере-Нордстрёме это - точка минимума гравитационного потенциала. Т.е. если туда будет падать что-то незаряженное, то ближе к центру не упадёт, ибо там - антигравитация. Стало быть, скопится на данной сфере.

Fagot в сообщении #484811 писал(а):

Наверно, Вы не обратили внимание, что решение нестатическое, а горловина у него - статическая. Поэтому пришить к Рейсснеру - Нордстрему можно.

Допустим. Давайте тогда формулу метрики в этой горловине при $r \to \dfrac{2 {r_e}^2}{r_g}$. Для сравнения с Райсснером-Нордстрёмом.

Честно говоря, Ваша задумка со всякими нестатическими пульсирующими пространствами мне пока непонятна. Если бы у меня, например, возникло желание увести поток электрического поля в другое пространство через "горловину", то я бы предпочёл пришить к сфере радиуса $\dfrac{2 {r_e}^2}{r_g}$ с другой стороны такое же симметричное решение Райсснера-Нордстрёма, только для заряда противоположного знака. И радовался бы, что на шве - только незаряженная пыль (скопившаяся там, очевидно, в результате падения оной из окружающего пространства - и того, и другого).

-- Ср сен 21, 2011 16:16:21 --

Fagot в сообщении #484811 писал(а):

Во-первых, непонятно откуда следует, что если определитель метрики в какой-то точке (на 3-поверхности) обращается в ноль, то обязательно должны присутствовать физические особенности? Вот, в данном случае да, центральносимметричная метрика на горловине вырождается. Но это - лишь недостаток этой системы координат и больше ничего

Тэк-с, Вы не поняли. Речь не о том, что нельзя брать координаты "с недостатками", а о том, что в решении Райсснера-Нордстрёма (в статических координатах) НЕТ "недостатков". Поэтому если Вы к координатам "без недостатков" пришиваете координаты "с недостатками", то это точно разрыв метрики.

Fagot в сообщении #484811 писал(а):

Что касается сшивки с вакуумным решением Рейсснера - Нордстрема, то последнее лучше всего преобразовать из координат кривизн, в которых Вы привели его метрику, к другим координатам

Зачем? Вы же пришиваетесь к статической сфере. Формулы для неё не станут проще при переходе в другие координаты.

[Fagot]

epros в сообщении #484817 писал(а):

Зачем? Вы же пришиваетесь к статической сфере. Формулы для неё не станут проще при переходе в другие координаты.

У координат кривизн, может быть я и не прав, но есть такой недостаток : в них $\sqrt{-g_{22}}=R(t,r)=r$. А это - радиус внутренней скалярной кривизны 2-радиальных сфер. Следовательно, в этих координатах $R_{,r}=1$. То есть в них не описывается непосредственно ситуация $R_{,r}=0$.Это же - комментарий к предыдущему Вашему :

epros в сообщении #484817 писал(а):

Тэк-с, Вы не поняли. Речь не о том, что нельзя брать координаты "с недостатками", а о том, что в решении Райсснера-Нордстрёма (в статических координатах) НЕТ "недостатков". Поэтому если Вы к координатам "без недостатков" пришиваете координаты "с недостатками", то это точно разрыв метрики.

Наверно, тут проще смотреть на физические условия сшивки : на горловине плотность пыли имеет разрыв : внутри она есть, в вакууме нет. А напряженность электрического поля - непрерывна. Радиусы кривизны заряда изнутри и снаружи равны. Именно это требует условие сшивки Лихнеровича.

epros в сообщении #484817 писал(а):

Давайте тогда формулу метрики в этой горловине при $r \to \dfrac{2 {r_e}^2}{r_g}$. Для сравнения с Райсснером-Нордстрёмом.

Попытаюсь, чуть попозже.

[Fagot]

epros в сообщении #484817 писал(а):

Давайте тогда формулу метрики в этой горловине при $r \to \dfrac{2 {r_e}^2}{r_g}$. Для сравнения с Райсснером-Нордстрёмом.

Для внутреннего мира электрического заряда в метрике

$$ds^2=e^\nu d\tau^2-e^\lambda dr^2 - R^2\left( d\theta^2 + sin^2 \theta d\varphi^2\right)$$

есть решение уравнений Эйнштейна и Максвелла ($f^2<1$) :
(1)

$$e^\nu = 1, e^\lambda=\frac{R'^2}{f^2\left(r\right)}$$

$$\left\{\begin{align} R=\frac{R_g\left(r\right)}{2\left(1-f^2\left(r\right)\right)}\left(1-\delta\left(r\right) cos\eta\right),\\ \tau - \tau_r\left(r\right)=\frac{R_g}{2\left(1-f^2\right)^{3/2}}\left(\eta-\delta sin \eta\right), \end{align}$$

где

$\delta\left(r\right)=\sqrt{1-\dfrac{4R_c^2}{R_g^2}\left(1-f^2\right)}, R_c=\dfrac{e\sqrt{\kappa}}{c^2},$

$\varepsilon_f=\dfrac{R_c^2}{\kappa R^4}$, и

$\varepsilon_s=\dfrac{R_g'}{\kappa R^2 R' }$

-
плотности энергии электромагнитного поля и пыли соответственно, $\kappa=\dfrac{8\pi k}{c^4}$, $'=\dfrac{\partial}{\partial r}, ^\cdot = \dfrac{\partial}{\partial\tau}$.
1) При $R_c=0$ метрика переходит в метрику Толмана [ЛЛ2].
2) При $R_g'=0$ метрика переходит в метрику Рейсснера-Нордстрема [МТУ].
3) При $R_g'=0, R_c=0$ - в метрику Шварцшильда [ЛЛ2].
Из-за того, что $0<\delta(r)<1$, радиус гауссовой кривизны радиальных сфер $R$ никогда и нигде не обращается в ноль, - вот в чём вся "соль" этого, казалось бы, слегка отличного от общеизвестных, решения уравнений ОТО. К чему это привело? Коллапса в центр нет. Основной сингулярности $R=0$ нет. Черной дыры нет. Горизонтов типа шварцшильдовского нет. Что появилось нового? При $f^2<1$ ($f^2$- один из первых интегралов уравнений Эйнштейна, задаваемый, совместно с двумя другими - зарядом $e=const$ и гравитационным радиусом $R_g(r)$ (полной гравитационной энергией внутреннего мира на данном радиусе $r$) произвольно, т.е. какими-то начальными условиями ) возник нестационарный периодический во времени мир из незаряженной пыли, пульсирующий от состояния максимального сжатия до состояния максимального расширения (вселенная), но - снабженный двумя статическими сферами экстремальной кривизны (горловинами, horns) с радиусом, в точности равным обычно используемому в физике элементарных частиц т.н. "классическому радиусу"

$R_h=\dfrac{e^2}{m_0c^2}$,

где $m_0c^2$ - полная (гравитационная) энергия этого нестационарного мира (вселенной) на горловинах, геометрически описываемая т.н. гравитационным радиусом

$R_g=\dfrac{2km_0}{c^2}$.

Все геометрические и физические величины на этих горловинах - конечны и постоянны. Из-за большого "гравитационного дефекта массы", т.е. фокусирующего (притягивающего) действия гравитационного поля (т.е. из-за сильной кривизны пространства) масса на горловинах, как и их радиус, могут быть намного меньше, чем параметры внутреннего мира, т.е. эти горловины по сути являются элементарными частицами (классическими, естественно).

Затем можно разрезать внутренний мир по горловине и склеить его с вакуумным статическим миром, в результате чего получается взгляд на заряд как бы "со стороны" : его "обнаженная" горловина выглядит как покоящаяся элементарная частица (классическая, в данном представлении).
Статическая экстремальная поверхность определяется условием :

$r=r_h, \dot R_h=0$.

Отсюда из (1) следует :

$\delta_h=0, (1-f_h^2)=R_{gh}^2/4R_c^2, R_h=2R_{fh}$,

где $R_{fh}=\dfrac{R_c^2}{R_{gh}}=\dfrac{e^2}{2m_oc^2}$ - классический (электромагнитный ) радиус.

[Утундрий]

Fagot,
epros,
реализуйте многообразия вложениями. С гладкостью станет яснее. Со смыслом, правда, туманнее...

[Fagot]

Утундрий в сообщении #485047 писал(а):

реализуйте многообразия вложениями. С гладкостью станет яснее. Со смыслом, правда, туманнее...

Спасибо, было бы неплохо, только я например, к сожалению не знаю, насколько размерность ${\mathbb {E}}^n$ будет меньше 16 в случае центральной симметрии.

[epros]

Fagot в сообщении #484943 писал(а):

У координат кривизн, может быть я и не прав, но есть такой недостаток : в них $\sqrt{-g_{22}}=R(t,r)=r$. А это - радиус внутренней скалярной кривизны 2-радиальных сфер. Следовательно, в этих координатах $R_{,r}=1$.

Что в этом особенного? Это всего лишь отражает тот факт, что координата $r$ имеет соответствующий смысл: ей соответствует сфера площади $4 \pi r^2$.

Fagot в сообщении #484943 писал(а):

То есть в них не описывается непосредственно ситуация $R_{,r}=0$.

Я не понял, зачем Вам нужна эта "ситуация" и, главное, откуда Вы её возьмёте?

Вообще-то любую замену только пространственных координат (т.е. не затрагивая время) можно выполнить без ущерба для статичности СО. Но если Вы перейдёте от $r$ к такой радиальной координате $r'$, в которой $R_{,r'} = 0$, то Вы породите особенность компонент метрики именно в той точке, где выполняется условие $R_{,r'} = 0$. Это потому, что отношение $dR$ к радиальной длине ($\sqrt{-g_{1 1}} dx^1$) - инвариант в рамках пространственного трёхмерия статической СО. Если Вы подставите в метрику:
$ds^2 = (1 - \frac{r_g}{r} + \frac{{r_e}^2}{r^2}) dt^2 - (1 - \frac{r_g}{r} + \frac{{r_e}^2}{r^2})^{-1} dr^2 - r^2 (d \theta^2 + d \varphi^2 \cos^2 \theta)$
значение $r = \frac{2 {r_e}^2}{r_g}$, соответствующее месту отреза/пришивки, Вы увидите, что величина $\frac{dR}{\sqrt{-g_{1 1}} dx^1} = \frac{1}{\sqrt{-g_{r r}}}$ - положительна. Такова уж геометрия пространственного трёхмерия для Райсснера-Нордстрёма, ничего Вы с этим не поделаете.

Это значит, что при попытке сшить его, например, с Минковским или с симметричным Райсснером-Нордстрёмом излома метрики не избежать. Но излом, это всё же не разрыв. Ему физически соответствует некая поверхностная плотность некой материи. А разрыв - это вообще нонсенс.

Fagot в сообщении #484943 писал(а):

Наверно, тут проще смотреть на физические условия сшивки : на горловине плотность пыли имеет разрыв : внутри она есть, в вакууме нет. А напряженность электрического поля - непрерывна. Радиусы кривизны заряда изнутри и снаружи равны. Именно это требует условие сшивки Лихнеровича.

Да что Вы так зациклились на этих условиях. Они всего лишь означают, что не должно быть скачков давления в тяготеющей материи (скачки плотности массы могут быть).

Fagot в сообщении #485001 писал(а):

Для внутреннего мира электрического заряда в метрике

$$ds^2=e^\nu d\tau^2-e^\lambda dr^2 - R^2\left( d\theta^2 + sin^2 \theta d\varphi^2\right)$$

....

$$e^\nu = 1$$

Упс. Сравнив $g_{0 0} = 1$ на стороне "внутреннего решения" с $g_{0 0}= 1 - (\frac{r_g}{2 r_e})^2$ на стороне Райсснера-Нордстрёма, уже видим разрыв. Причём это разрыв компоненты метрики, тангенциальной к поверхности сшивки, что совсем уж плохо.