Как решается целочисленное уравнение двух неизвестных?

[Sultan955]

Задали решить уравнение, но не объяснили как решать:

5y^2 + 8xy - 4x^2 = 17$

Требуется найти все целочисленные решения.
Вопрос: как это сделать?

Во всех примерах, которые удалось найти в Интернете, есть либо произведение неизвестных,
либо степени, либо то и другое сразу, но степени с положительными коэффициентами,
т.е. их можно разложить на множители (Мордкович, задачник по алгебре за 10 класс, пример 1.57г).

В учебнике сейчас проходим действительные числа, похожих примеров нет.

[Shadow]

Попробуйте представить левую часть уравнения в виде произведения.

[Klad33]

Решаем относительно x и анализируем радикал. Для целочисленного решения должно быть:

$y_{1,2}=+3 \qquad x_{1,2}=y_{1,2}\pm 4$

$y_{3,4}=-3 \qquad x_{3,4}=y_{3,4}\pm 4$

[Shadow]

(y+2x)(5y-2x)=17
17 число простое...

[Toucan]

Shadow в сообщении #484067 писал(а):

(y+2x)(5y-2x)=17
17 число простое...

Shadow, замечание за
1. Неиспользование $\TeX$ при наборе формул.
2. Полное решение простой учебной задачи; вполне можно было ограничиться Вашим первым сообщением и дать ТС возможность попробовать решить задачу самостоятельно.

[Shadow]

1. Формула довольно простая и визуально практически ничем не отличается от tex.
2. Я бы ограничился своим первым сообщением, но увидел уже полное решение с правильными ответами. И предложил другое, более короткое.
3. Замечание принял. Не спорю, просто мотивируюсь.

[Утундрий]

Sultan955 в сообщении #484052 писал(а):

Задали решить уравнение, но не объяснили как решать. Вопрос: как это сделать?

Так какого чёрта вы за это взялись, если не понимаете ничего?

[Klad33]

Вот как раз-то мое решение проще и оригинальней. Смотрите сами:

$x=y\pm \frac{1}{2}\sqrt{(3y)^2-17}$

Еще шестилетний Гаусс заметил, что 17 будет только при $9^2-8^2$.

Поэтому $y=\pm 3$

Ну а дальше, как говорится, элементарно.

PS Если автор решит задачу двумя методами - будет просто замечательно!

[bot]

(к вопросу о простоте и оригинальности)

Klad33 в сообщении #484107 писал(а):

Еще шестилетний Гаусс заметил, что

А не отсюда ли он это заметил?

$a^2-17=b^2 \Leftrightarrow (a-b)(a+b)=17 ... $

[Sonic86]

Klad33 в сообщении #484107 писал(а):

Вот как раз-то мое решение проще и оригинальней.

Да то же самое, только вместо формы $xy$ строится форма $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Не проще и не оригинальнее. Принципиально важно понимать, что это равносильный прием (т.е. решает ровно то же множество задач, что и прием Shadow).

Klad33 в сообщении #484107 писал(а):

Еще шестилетний Гаусс заметил, что 17 будет только при $9^2-8^2$.

Желательно доказывать нормально, как bot написал.

[Klad33]

bot в сообщении #484113 писал(а):

А не отсюда ли он это заметил?
$a^2-17=b^2 \Leftrightarrow (a-b)(a+b)=17 ... $[/off]

Естественно оттуда. Но тут присутствует строгий модератор, который запрещает полностью решать задачи. Приходится выражаться косвенно.

[arseniiv]

Klad33 в сообщении #484107 писал(а):

Смотрите сами:

$x=y\pm \frac{1}{2}\sqrt{(3y)^2-17}$

Нифига не проще, чем равенство произведения скобок числу. По-моему.