Помогите разобраться с произвольными системами отсчета в СТО

[Fagot]

epros в сообщении #483223 писал(а):

Fagot в сообщении #483111 писал(а):
при наличии соответствующих векторов Киллинга
Вот именно, что в большинстве случаев на оное "наличие" полагаться нельзя.

Нельзя ли и это пояснить, ведь если нет векторов Киллинга, нет и сохраняющихся величин.

-- Чт сен 15, 2011 10:54:04 --

epros в сообщении #483232 писал(а):

Дело в том, что решения с нулевой кривизной (почти везде), но при этом очевидным образом описывающие не что иное, как "гравитацию", существуют. Так что говорить о том, что гравитация "неразрывно связывается" с кривизной ... хм ... не совсем корректно.

Ради бога, поясните, я ничего не понял : как это : "решения с нулевой кривизной (почти везде), но при этом очевидным образом описывающие не что иное, как "гравитацию""? Если не везде, то все нормально - пространство-время кривое, гравитационное поле есть, ему эквивалентно. А если пространство-время везде плоское, то и гравитационного поля нет : $0\equiv 0$.

[epros]

Fagot в сообщении #483225 писал(а):

Это интересно. Поясните, пожалуйста, что Вы имеете в виду : $\diamondsuit \mathbf A=0$ - плоскую волну?

Это не плоская волна, а суперпозиция любых плоских волн, а также однородное электрическое и магнитное поля.

Fagot в сообщении #483225 писал(а):

Скажите, а почему надо ограничивать в данном вопросе наше любопытство? В чем природа сил (полей) инерции?

Чтобы не тащить в практическую науку (физику) подобные бессмысленные философские вопросы.

(Оффтоп)

-"А в чём суть-то?"
- "Да прямо в песок и ссуть". (c)

Fagot в сообщении #483225 писал(а):

Или силы существуют без поля?

Силы инерции (= гравитации) составляют поле. Причём согласно ОТО оное обладает плотностью энергии и импульса.

Fagot в сообщении #483225 писал(а):

Тогда это - мгновенная передача взаимодействия, то есть - дальнодействие, значит, "удаленные источники", которые нельзя считать "внутренними"...

Дальнодействие несовместимо с базовыми принципами теории относительности. Его существование означало бы, что с его помощью можно независимым от СО образом синхронизировать часы, т.е. ввести абсолютное время.

Fagot в сообщении #483225 писал(а):

В таком случае и третий закон не к чему будет применять

Третий закон всегда есть к чему применять, даже в теориях дальнодействия. Там он применяется непосредственно к взаимодействующим (через дальнодействие) объектам. В теориях близкодействия непосредственного взаимодействия между удалёнными объектами нет, поэтому третий закон применяется к паре: "объект-источник" плюс "само поле". Во всех теориях поля (включая ОТО) третий закон утверждает, что импульс, приобретённый источником, равен импульсу, потерянному полем.

Fagot в сообщении #483225 писал(а):

Ещё раз позвольте обратить Ваше внимание на невозможность для нелинейного поля отделить его, а следовательно, и его энергию-импульс, от всей системы : энергия-импульс гравитационного поля - это и есть энергия-импульс всей физической системы поле + источники.

Это неверные рассуждения. Нелинейность уравнений поля тут ни при чём. Она свидетельствует лишь о том, что поле - самодействующее, т.е. обладает "зарядом". Для гравитации это можно продемонстрировать на простом примере пары притягивающих друг друга кирпичей. Нелинейность уравнений не мешает нам рассматривать гравитационное поле отдельно от его источников другой (не гравитационной) природы.

[myhand]

epros в сообщении #483246 писал(а):

Дальнодействие несовместимо с базовыми принципами теории относительности.

"Мгновенное" дальнодействие. Само по себе дальнодействие (пример, электродинамика Уилера-Фейнмана) - замечательно совместимо.

[Fagot]

epros в сообщении #483246 писал(а):

Это не плоская волна, а суперпозиция любых плоских волн, а также однородное электрическое и магнитное поля.

Однородность поля означает лишь, что его источники (заряды, токи, массы) вынесены на бесконечность. Единственное универсальное поле, совпадающее со своими зарядами, - это, очевидно, гравитационное поле.

epros в сообщении #483246 писал(а):

Чтобы не тащить в практическую науку (физику) подобные бессмысленные философские вопросы.

Всё же это отговорка, физика - фундаментальная наука. Лучше наверно честно признать, что проблема не решена.

epros в сообщении #483246 писал(а):

Силы инерции (= гравитации) составляют поле. Причём согласно ОТО оное обладает плотностью энергии и импульса.

Если поле инерции - это гравитация, это было бы замечательно, значит, принадлежат ОТО. Но тогда их невозможно описать в СТО в любых системах отсчета, т.к. в ней нет гравитации.

[epros]

Fagot в сообщении #483234 писал(а):

Нельзя ли и это пояснить, ведь если нет векторов Киллинга, нет и сохраняющихся величин.

Это заблуждение. Поле Киллинга определяет изометрию, т.е. перемещение, глобально сохраняющее расстояния. Таковое существует только в достаточно специфических случаях. Однако это не означает отсутствия законов сохранения, ибо изометрия - вовсе не единственная из возможных симметрий.

Законы сохранения в ОТО - это уравнения непрерывности для энергии-импульса. Т.е. они утверждают, что для любой трубки из времени-подобных мировых линий и для любой пары её сечений пространственно-подобными гиперповерхностями ("начального" и "конечного" трёхмерных объёмов) разность интегральных энергии и импульса в "конечном" и в "начальном" трёхмерных объёмах равна потоку оных через стенки трубки.

Fagot в сообщении #483234 писал(а):

Ради бога, поясните, я ничего не понял : как это : "решения с нулевой кривизной (почти везде), но при этом очевидным образом описывающие не что иное, как "гравитацию""? Если не везде, то все нормально - пространство-время кривое, гравитационное поле есть, ему эквивалентно. А если пространство-время везде плоское, то и гравитационного поля нет

(Оффтоп)

Это рассуждения по схеме: "Я прав, потому что я лев?"

"Не везде" - это означает, например, что на одной плоскости (пространственном двухмерии) кривизна может быть не нулевой. При этом с обоих сторон от плоскости может наблюдаться тяготение (ускорение свободного падения, направленное в сторону плоскости). Везде вне плоскости пространство-время остаётся пустым и с нулевой кривизной.

[myhand]

Fagot в сообщении #483256 писал(а):

Однородность поля означает лишь, что его источники (заряды, токи, массы) вынесены на бесконечность.

Вовсе не это. Пример - излучение в самой обычной электродинамике и источниками в самой что ни на есть бесконечности...

Fagot в сообщении #483256 писал(а):

Единственное универсальное поле, совпадающее со своими зарядами, - это, очевидно, гравитационное поле.

Оно не совпадает со своими зарядами - это бессмыслица. А в качестве "источника" самого себя - гравитационное поле ничем принципиально не выделяется среди нелинейных теорий.

Fagot в сообщении #483256 писал(а):

Лучше наверно честно признать, что проблема не решена.

Да, в том же самом смысле, что и для "проблем" типа "есть ли бог" или "есть ли смысл жизни". Физика (да и наука вообще) не умеет отвечать на неосмысленные вопросы.

Fagot в сообщении #483256 писал(а):

Но тогда их невозможно описать в СТО в любых системах отсчета, т.к. в ней нет гравитации.

Это клиника. Вам же показали, что это сделать можно. СТО отличается от ОТО только тем, что постулирует определенное пространство-время. А в ОТО пространство-время определяется динамически, вместе с движением материи. До определенной степени, естественно - есть еще начальные и граничные условия, дополнительные к уравнениям поля.

[epros]

Fagot в сообщении #483256 писал(а):

Однородность поля означает лишь, что его источники (заряды, токи, массы) вынесены на бесконечность.

Это всё ничего не значащие слова. Можете ровно так же считать, что источники гравитационного поля "вынесены на бесконечность" или, если Вселенная замкнута, что поле существует извечно с начала времён.

Fagot в сообщении #483256 писал(а):

Единственное универсальное поле, совпадающее со своими зарядами, - это, очевидно, гравитационное поле.

Гравитация не "совпадает со своими зарядами", поскольку источником поля тяготения может быть отнюдь не только само поле. Земля обладает массой, а потому является источником гравитации, однако она сама - не есть гравитационное поле.

Fagot в сообщении #483256 писал(а):

Всё же это отговорка, физика - фундаментальная наука. Лучше наверно честно признать, что проблема не решена.

Проблема не решена, поскольку её нет.

Fagot в сообщении #483256 писал(а):

Если поле инерции - это гравитация, это было бы замечательно, значит, принадлежат ОТО. Но тогда их невозможно описать в СТО в любых системах отсчета, т.к. в ней нет гравитации.

Это ничего не значащая формальная отговорка. В НСО есть поля сил тяготения, которые могут описываться в СТО. Единственное, чего не умеет СТО, это посчитать их энергию и импульс.

[Fagot]

epros в сообщении #483258 писал(а):

Это заблуждение. Поле Киллинга определяет изометрию, т.е. перемещение, глобально сохраняющее расстояния. Таковое существует только в достаточно специфических случаях. Однако это не означает отсутствия законов сохранения, ибо изометрия - вовсе не единственная из возможных симметрий.

Это да. Но как раз обсуждаемые законы сохранения - энергии - импульса - следуют из изометрий.

epros в сообщении #483258 писал(а):

Законы сохранения в ОТО - это уравнения непрерывности для энергии-импульса. Т.е. они утверждают, что для любой трубки из времени-подобных мировых линий и для любой пары её сечений пространственно-подобными гиперповерхностями ("начального" и "конечного" трёхмерных объёмов) разность интегральных энергии и импульса в "конечном" и в "начальном" трёхмерных объёмах равна потоку оных через стенки трубки.

Это так, но дифференциальные законы сохранения тогда можно проинтегрировать, когда интегралы существуют. А они существуют, когда есть соответствующее поле векторов Киллинга.

epros в сообщении #483246 писал(а):

Нелинейность уравнений поля тут ни при чём. Она свидетельствует лишь о том, что поле - самодействующее, т.е. обладает "зарядом". Для гравитации это можно продемонстрировать на простом примере пары притягивающих друг друга кирпичей. Нелинейность уравнений не мешает нам рассматривать гравитационное поле отдельно от его источников другой (не гравитационной) природы.

По-моему Вы все же ошибаетесь : самодействие наоборот, перемешивает поле и источник. И если более детально рассмотреть предложенную Вами картину двух притягивающихся кирпичей, можно убедиться в противоположном - их поле притяжения и сами кирпичи неотделимы. Вы увидите, что кирпичей на самом деле нет, а есть одно нелинейное гравитационное поле. более того, и гравитационного поля нет - есть просто кривое пространство. Это - принцип эквивалентности в чистом виде.

epros в сообщении #483258 писал(а):

"Не везде" - это означает, например, что на одной плоскости (пространственном двухмерии) кривизна может быть не нулевой.

Но это и означает, что нет гравитации без кривизны. Обратное тоже, очевидно, справедливо.

myhand в сообщении #483259 писал(а):

Оно не совпадает со своими зарядами - это бессмыслица. А в качестве "источника" самого себя - гравитационное поле ничем принципиально не выделяется среди нелинейных теорий.

Позвольте высказать прямо противоположный взгляд : гравитационное поле - единственное нелинейное самосогласованное геометризованное поле, являющееся источником самого себя.

Формальная справедливость данного утверждения вытекает хотя бы из того факта, что уравнения гравитационного поля (уравнения Эйнштейна) содержат в себе уравнения движения.

Но есть и более прямое доказательство эквивалентности материи, поля и геометрии. Возьмите, к примеру теорию тяготения Ньютона - в ней массы - источник поля тяготения, но самими уравнениями поля не описываются.

Возьмите электродинамику. В ней заряды - источники электромагнитного поля, но самими уравнениями Максвелла они не описываются - они там присутствуют как заданные (фундаментальными константами) объекты.

И лишь в гравитационном поле ситуация другая. Возьмите вакуумное решение Шварцшильда для поля точечной массы - оно содержит источник - точечную сингулярность, в которой кривизна обращается в бесконечность. Казалось бы, то же, что и кулоновская расходимость поля точечного заряда. Но это не так. Если теперь это вакуумное решение сшить с внутренним решением уравнений для распределенного вещества, то окажется, что эта константа - масса - во-первых, перестанет быть точечной, во-вторых, перестанет быть массой, а будет гравитационным полем, другими словами, кривым пространством типа bottleneck - бутылочного горлышка, а сам параметр - масса - получит смысл полной гравитационной энергии внутреннего пространства на этом сужении.

Этот факт и выражала приведенная выше формулировка принципа эквивалентности : материя $\equiv$ гравитационному полю $\equiv$ пространству-времени.

-- Пт сен 16, 2011 01:28:33 --

epros в сообщении #483262 писал(а):

Гравитация не "совпадает со своими зарядами", поскольку источником поля тяготения может быть отнюдь не только само поле. Земля обладает массой, а потому является источником гравитации, однако она сама - не есть гравитационное поле.

Вот как раз это представление и корректирует, очевидно, вышеизложенная картина. Земля - источник, и поле, и кривая геометрия.

[Aleksand]

СТО непротиворечива, но она недостаточна. Она не может работать в ускореных СО. Несколько лет назад Алия поднимала этот вопрос. Там ещё был Eprоs. Вопрос был о рассинхронизации часов на послеускоренном стержне. Ну и как, объяснили?

[epros]

Fagot в сообщении #483424 писал(а):

Но как раз обсуждаемые законы сохранения - энергии - импульса - следуют из изометрий.

Это заблуждение.

Fagot в сообщении #483424 писал(а):

Это так, но дифференциальные законы сохранения тогда можно проинтегрировать, когда интегралы существуют. А они существуют, когда есть соответствующее поле векторов Киллинга.

Интегралы существуют всегда, когда функция интегрируема (по Риману, например).

Fagot в сообщении #483424 писал(а):

Вы увидите, что кирпичей на самом деле нет, а есть одно нелинейное гравитационное поле

Я в шоке.

Fagot в сообщении #483424 писал(а):

Но это и означает, что нет гравитации без кривизны. Обратное тоже, очевидно, справедливо.

Какое нам дело до того, какая кривизна на плоскости? А во всём остальном пространстве, где действуют силы тяготения, кривизна нулевая.

Fagot в сообщении #483424 писал(а):

Формальная справедливость данного утверждения вытекает хотя бы из того факта, что уравнения гравитационного поля (уравнения Эйнштейна) содержат в себе уравнения движения.

Вы ошибаетесь. К уравнениям Эйнштейна необходимо добавить уравнения динамики тяготеющей материи. Без этого полной системы уравнений динамики мы не получим.

Fagot в сообщении #483424 писал(а):

И лишь в гравитационном поле ситуация другая.

Как видите, нет.

Fagot в сообщении #483424 писал(а):

Земля - источник, и поле

Я в шоке. Земля - это поле? Откуда Вы взяли такие странные представления?

-- Пт сен 16, 2011 09:10:17 --

Aleksand в сообщении #483432 писал(а):

Вопрос был о рассинхронизации часов на послеускоренном стержне. Ну и как, объяснили?

А какие проблемы? В ускоренной СО синхронизированные часы идут с разной скоростью.

[Fagot]

epros в сообщении #483446 писал(а):

Это заблуждение.

А давайте сделаем так : я Вам попробую доказать, что это не заблуждение, а Вы потом скажете, так ли это или не так.
Из уравнений Эйнштейна следуют уравнения движения, записанные локально в форме уравнения непрерывности :

$T^{\mu\nu}_{;\nu}=0$

Умножим тензор энергии-импульса на произвольный вектор ${}^{\displaystyle{\xi}}_a^{\mu}$ и возьмем дивергенцию, которая, если ${}^{\displaystyle{\xi}}_a$ - вектор Киллинга, обратится в ноль :

$(T^{\mu\nu}{}^{\displaystyle{\xi}}_a_{\mu})_{;\nu}={}^{\displaystyle{\xi}}_a_{\mu}T^{\mu\nu}_{;\nu}+T^{\mu\nu}{}^{\displaystyle{\xi}}_a_{(\mu;\nu)}=0$

Взяв от этого нуля интеграл по 4-объему и применив теорему Гаусса, получим :

$\oint T^{\mu\nu}{}^{\displaystyle{\xi}}_a_{\mu}dS_{\nu}=0$,

Откуда получаем сохраняющийся 4-вектор энергии-импульса :

${}^{\displaystyle{P}_a=\int T^{\mu\nu}{}^{\displaystyle{\xi}}_a_{\nu}dS_{\mu}=const$

Как известно, нулевая компонента этого интегрального 4-вектора - это полная энергия системы. Как видим, она существует тогда и только тогда, когда есть времениподобный вектор Киллинга ${{}^{\displaystyle{\xi}}_0}^{\mu}$.

Таким образом, сохраняющейся полной энергии системы отвечает времениподобный вектор Киллинга. #

[epros]

Fagot в сообщении #483473 писал(а):

Из уравнений Эйнштейна следуют уравнения движения, записанные локально в форме уравнения непрерывности :

$T^{\mu\nu}_{;\nu}=0$

Начнём сразу с того, что это - не уравнение непрерывности. Уравнение непрерывности записывается не через ковариантные, а через обычные производные. Т.е. оно имеет вид:

$(T^{\mu\nu} + t^{\mu\nu})_{,\nu}=0$

[Fagot]

epros в сообщении #483475 писал(а):

Уравнение непрерывности записывается не через ковариантные, а через обычные производные.

Бог с ним, пусть не уравнение непрерывности. Меня интересует результат : сохранение энергии - импульса - следствие существования поля векторов Киллинга.

[epros]

Fagot в сообщении #483500 писал(а):

Бог с ним, пусть не уравнение непрерывности. Меня интересует результат : сохранение энергии - импульса - следствие существования поля векторов Киллинга.

Нет уравнения непрерывности - нет закона сохранения. Теорема Гаусса применяется к интегралу от обычной дивергенции, а не ковариантной.

-- Пт сен 16, 2011 16:18:25 --

И вообще, мне непонятно Ваше желание доказать сохраняемость каких-то интегралов от $T^{\mu\nu}$, ибо эта величина описывает энергию-импульс только тяготеющей материи. А про само гравитационное поле Вы забыли? Энергию-импульс гравитационного поля описывает совсем другая величина: $t^{\mu\nu}$.

[Fagot]

epros в сообщении #483511 писал(а):

эта величина описывает энергию-импульс только тяготеющей материи.

Хорошо, пусть так. Но в таком случае Вы согласны, что мы закон сохранения энергии-импульса "тяготеющей материи" обязан наличию поля вектора Киллинга?