Пример системы вложенных замкнутых множеств

[Trapeze]

Всем привет!
Вообще существует система вложенных замкнутых множеств, которая в пересечении давала бы пустое множество ( это все в R)?

[Joker_vD]

Лемма о стягивающихся отрезках? Если $[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\ldots\supset[a_n,b_n]\supset\ldots$ и $\lim\limits_{n\to\infty}|b_n-a_n|=0$, то $\exists\, c\in \mathbb R\colon\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}[a_n,b_n]=\{c\}$

[MaximVD]

Конечно существует. Например: $A_n = [n; + \infty)$. Ясно, что $A_n \supset A_{n+1}$ и $\bigcap\limits_{n=0}^{\infty} A_n = \varnothing$.

[Trapeze]

Так вот нужно именно пустое мн-во в пересечении, а с отрезками точка в пересечении.
ПС в R компактами являются только отрезки?

[ИСН]

Trapeze, Вам дали пример и подробно объяснили, почему его не может быть. Чего ещё надо?
А с компактами, ну... Два отдельно висящих отрезка - это отрезок? Нет. А компакт ли? ...

[Trapeze]

Ну я минут 10 уже пытаюсь доказать, что с таким примером $A_n = [n; + \infty)$ пересечение будет пустое. Как это сделать? Ну, инфинумы стремятся к беск, супремумы тоже, длина не стремится к нулю ....

[Sender]

Точка - замкнутое множество, верно? Например, система множеств $S_i$, $0<i<\infty$, где $S_i$ содержит все натуральные числа, делящиеся на $2^i$.

[PAV]

Trapeze в сообщении #482937 писал(а):

Ну я минут 10 уже пытаюсь доказать, что с таким примером $A_n = [n; + \infty)$ пересечение будет пустое. Как это сделать? Ну, инфинумы стремятся к беск, супремумы тоже, длина не стремится к нулю ....

Любая точка $x\in R$ не будет принадлежать всем множествам $A_n$ начиная с некоторого номера.

[Trapeze]

Ладно, спасибо всем.

[мат-ламер]

Trapeze в сообщении #482937 писал(а):

Ну я минут 10 уже пытаюсь доказать, что с таким примером $A_n = [n; + \infty)$ пересечение будет пустое. Как это сделать? Ну, инфинумы стремятся к беск, супремумы тоже, длина не стремится к нулю ....

Про стремление длины к нулю в условии не было. А если бы было, то это был бы совсем другой разговор.

[ewert]

Trapeze в сообщении #482930 писал(а):

компактами являются только отрезки?

а где, собственно, в исходном условии слово "компакт"?... Поступила лишь "замкнутость". Однако замкнутость -- это ещё далеко не компактность.

[JMH]

Интересен вопрос: может ли система вложенных, непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых множеств в Банаховом пространстве иметь пустое пересечение?

[MaximVD]

JMH
Если пространство рефлексивно, то пересечение всегда непусто.
Далее, если все множества, за исключением, быть может, конечного числа, замкнутые шары, то пересечение непусто.
В общем случае это уже не так. Возьмём вещественное пространство $c_0$, состоящее из сходящихся к нулю вещественных последовательностей, где норма последовательности $x = \{ x_n \}, n \in \mathbb{N},$ определяется по формуле $\| x \| = \sup_{ n \in \mathbb{N} }| x_n |$.
Определим множества $A_n = \{ x \in c_0 \mid \| x \| \le 1, \, x_k \in [ 1/2 ; 1], \, k \in \{ 1, \ldots, n \} \}$. Нетрудно проверить, что все $A_n$ замкнуты, ограничены, непусты и выпуклы. Также $A_n \supset A_{n+1}$. Однако их пересечение пусто.

[JMH]

У Вас здесь

MaximVD в сообщении #483359 писал(а):

$A_n = \{ x \in c_0 \mid \| x \| \le 1, \, x_k \in [ 1/2 ; 1], \, k \in \{ 1, \ldots, n \} \}$.

ничего не потерялось? Мне неочевидны вложенность и пустота пересечения...

[MaximVD]

Пусть $x \in A_n$, тогда $\| x \| \le 1$ и, в частности, $x_l \in [1/2; 1]$ для всех $l \in \{ 1, \ldots, n-1\}$. Значит $x \in A_{n-1}$.
Если словами, то $A_n$ состоит из таких последовательностей сходящихся к нулю, у которых каждый член по модулю не больше единицы и при этом первые $n$ членов лежат в отрезке $[1/2; 1]$. Ясно, что оно содержится в множестве $A_{n-1}$, где почти такие же требования, только принадлежать отрезку $[1/2; 1]$ должны не первые $n$, а первые $n-1$ членов последовательности.
Про пустое пересечение: предположите, что пересечение непусто и посмотрите какому условию тогда будет удовлетворять вектор из пересечения. А потом внимательно посмотрите на определение пространства $c_0$.