Пример системы вложенных замкнутых множеств

[JMH]

Понятно, $y \in \displaystyle \bigcap_{i=0}^{\infty} A_i$ должен иметь произвольное чило элементов, лежащих в отрезке $[1/2,1]$, что не соответствует требованию сходимости к 0. Хороший пример, спасибо.

[alcoholist]

Trapeze
дал пример последовательности вложенных замкнутых множеств $A_n=[n;+\infty), \,n=0,1,2\ldots$ с пустым пересечением, тем самым ответив на вопрос

Trapeze в сообщении #482921 писал(а):

Всем привет!
Вообще существует система вложенных замкнутых множеств, которая в пересечении давала бы пустое множество ( это все в $\mathbb{R}$)?

-- Пт сен 16, 2011 00:09:34 --

Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности,
утверждение

"Любая последовательность $A_1\supset A_2\supset A_3\supset\ldots$ имеет непустое пересечение"

влекло бы компактность

[JMH]

А для чего необходимо требование счётной базы?

[alcoholist]

JMH в сообщении #483422 писал(а):

А для чего необходимо требование счётной базы?

Для пространств со счетной базой из любого открытого покрытия можно выделить счетное (Линделёф), поэтому для компактности достаточно проверять на непустоту пересечения счетных центрированных систем замкнутых множеств. А любую счетную центрированную систему можно считать системой вложенных множеств.

-- Пт сен 16, 2011 06:48:04 --

Исправление к моему пред. посту

alcoholist в сообщении #483420 писал(а):

"Любая последовательность $A_1\supset A_2\supset A_3\supset\ldots$ замкнутых множеств имеет непустое пересечение"