Анализ Фурье

[vlad_light]

Начал изучать анализ Фурье по книге

(Оффтоп)

"Цифровая обработка сигналов"/А.Б.Сергиенко-СПб.:Питер, 2003.

Только начал читать, а уже появились некоторые вопросы
1. Дельта-функция - это такая функция $\delta (x)$, которая удовлетворяет условиям:
а) $\delta (x)=\begin{cases} +\infty,&x=0,\\ 0,&x\neq 0;\\\end{cases}$
б) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta (t)dt=1$
Далее в книге описывается "фильтрующее" свойство дельта-функции:
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta (t-t_0)dt=f(t_0)$
Тогда $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta ^2 (t)dt=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta (t)\delta (t-0)dt=\delta (0)=+\infty$,
что означает, что $\delta \overline\in L_2(\mathbb R)$, но это невозможно, поскольку $\delta \in L_1(\mathbb R)$, а $L_1\subset L_2$.
Вопрос: где ошибка?
2. Ряд Фурье имеет следующий вид:
$s(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (a_k\cos (kw_1t)+b_k\sin (kw_1t))$
Входящие в формулу кратные ей частоты $kw_1$ называются гармониками.
Далее преобразуем ряд Фурье:
$s(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty A_k\cos (kw_1t+\phi _k)$
Здесь коэффициенты $A_k$ называются амплитудами.
Если ф-ция $s(t)$ чётная, фазы $\phi _k$ могут принимть значения $0$ и $\pi$. Если $s(t)$ нечётная, фазы могут быть равны $\pm\pi$.
Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз - фазовым спектром.
Вопрос: немного не понятно предыдущее определение. До этого говорили, что амплитуды относятся к ряду Фурье, теперь к гармоникам. Поясните, пожалуйста, что называется амплитудным спектром.
3. Введём преобразование Фурье:
$S(w)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-jwt}dt$
где $S(w)$ - спектральная функция сигнала $s(t)$.
Модуль спектральной функции называют амплитудным спектром, а её аргумент - фазовым спектром.
Далее, в качестве примера, рассматривается функция
$s(t)=\begin{cases} A,&|t|\leq \tau /2,\\ 0,&|t|>\tau /2;\\\end{cases}$
Далее находят её спектральную функцию и строят графики фазового и амплитудного спектра.
Вопрос: как строить график амплитудного спектра? В данном примере он равен
$\phi _s(w)=\begin{cases} \pi,&w\in [\frac{2\pi}{\tau}(n-1),\frac{2\pi}{\tau}n],n\in \mathbb N_-\\ -\pi,&w\in [\frac{2\pi}{\tau}n,\frac{2\pi}{\tau}(n+1)],n\in \mathbb N\\0,&\text{в других случаях};\\\end{cases}$
Пока всё, дальше будут ещё вопросы. Заранее всем спасибо!

[Joker_vD]

По первому вопросу: дельта-функция на самом деле никакая не функция, как вы это и продемонстрировали. Что на самом деле она (и некоторые другие "функции") такое — в общем-то, знать особо и не зачем. Считайте ее "приправой под знаком интеграла" и не заморачивайтесь, просто помните, что она всегда должна быть с основным "блюдом" — нормальной функцией.

По второму вопросу: скорее всего, просто такая вольность терминологии. Всякая амплитуда ведь стоит при какой-то гармонике в ряде. Так что амплитудный спектр — это набор амплитуд $A_k$.

[vlad_light]

Т.е. амплитудный спектр - это множество $\{A_1,A_2,...,A_n,...\}$?
Окей, что насчёт третьего вопроса?

(Оффтоп)

Кстати, почему дельта-функция не является функцией, точнее, как это определить?

[profrotter]

Курс "Цифровая обработка сигналов" предполагает, что вы уже знакомы с Фурье-анализом и этот материал там излагается кратко и в целях пробудить ваши воспоминания. Фурье-анализ, применительно к сигналам, следует изучать по книгам:
1. Стеценко О.А. Радиотехнические цепи и сигналы.
2. Гоноровский Радиотехнические цепи и сигналы.
3. Баскаков Радиотехнические цепи и сигналы.
4. Самойло Радиотехнические цепи и сигналы.
5. Денисенко А.Н. Сигналы. (это монография!)
Кстати, в этих же учебниках имеется и материал по цифровой обработке.
Если после прочтения хотя бы одной из этих книг у вас будут возникать подобные вопросы - на них будет иметь смысл отвечать тут на форуме.
И, сразу - смотрите на вывод фильтрующего свойства дельта-функии и подумайте какие ограничения наложены на функцию $f(t)$. Можно ли вместо неё подставить туда $\delta(t)$?!

Каждый член ряда Фурье называется гармоникой или гармонической составляющей сигнала. Амплитуды относятся именно к гармоническим составляющим - это максимальное отклонение гармонического сигнала от своего среднего значения и никак иначе. Амплитудный спектр - это совокупность амплитуд гармонических составляющих сигнала $\left\{\frac {A_0} 2, A_n\right\}_{n=1}^{+\infty}$

В третьем вопросе вы спрашиваете про амплитудный спектр, а формулу приводите для фазового. Непонятно. Спектральная плотность симметричного прямоугольного импульса длительностью $\tau$ описывается выражением: $S(\omega)=\tau sinc(\frac {\omega \tau} 2)$.
Фазовый спектр - это аргумент спектральной плотности $\varphi(\omega)=arg(sinc(\frac {\omega \tau} 2))$. Речь идёт о аргументе действительного числа. Он равен нулю, когда оно положительно и равен $\pm \pi$. Таким образом там, где $sinc(\frac {\omega \tau} 2)$ положительно фазовый спектр равен нулю, там где отрицательно - $\pm \pi$. Но... НО! При выборе знака перед $\pi$ обязательно требуется учитывать, что фазовый спектр действительного сигнала должен обладать нечётной симметрией. Подводя итог сказанному выражение для фазового спектра запишем в виде: $\varphi(\omega)=\frac {\pi} 2 (1-sign(sinc(\frac {\omega \tau} 2)))sign(\omega)$. Как его строить? Забить записанное выражение в любой "маткад" и построить. А если на бумажке, то сначала построить график спектральной плотности (она тут действительная), а снизу строить график фазого спектра, наблюдая за знаком графика спектральной плотности.

[vlad_light]

Цитата:

вы спрашиваете про амплитудный спектр, а формулу приводите для фазового. Непонятно.

Опечатка Я имел ввиду фазовый спектр.

Цитата:

построить график спектральной плотности (она тут действительная)

А разве она может быть комплексной? Мы же строим модуль данной функции, а модуль всегда число действительное.

Цитата:

какие ограничения наложены на функцию $f(t)$

Там про условия ничего сказано не было, поэтому и возник вопрос. Подумаю

Цитата:

Фурье-анализ, применительно к сигналам, следует изучать по книгам

Огромное спасибо за литературу. Вообще-то, мне нужен анализ Фурье для изучения вейвлетов. Мне посоветовали почитать "10 лекций..." Добеши, но они показались мне очень сложными и я решил сначала выучить ДПФ, а потом уже приступить к изучению вейвлетов. Может Вы и по вейвлетам литературу сможете посоветовать(как для новичка в этом деле).

Цитата:

... - это максимальное отклонение гармонического сигнала от своего среднего значения

Разве не от нуля? В ряде Фурье $A_k$ умножается на косинус, т.е. в точках $\pi k, k\in\mathbb Z$ значение $k$-ого члена ряда Фурье будет локально максимальным. Хотя, Вы правы, от среднего в этих точках оно также отклоняется на максимальное расстояние.
Ещё раз большое спасибо!

[profrotter]

vlad_light в сообщении #482773 писал(а):

Цитата:

построить график спектральной плотности (она тут действительная)

А разве она может быть комплексной? Мы же строим модуль данной функции, а модуль всегда число действительное.

Модуль спектральной плотности $|S(\omega)|$ это амплитудный спектр. Его всегда можно построить. А сама спектральная плотноть $S(\omega)$ - это в общем случае комплексная функция. В частном случае, когда сигнал действительный и чётно-симметричный спектральная плотность оказывается действительной и построить её график ничего не мешает. Посмотрите на выражение для спектральной плотности прямоугольного импульса. Это действительная функция действительного переменного.

vlad_light в сообщении #482773 писал(а):

Может Вы и по вейвлетам литературу сможете посоветовать(как для новичка в этом деле).

К сожалению с учебниками по теории вейвлетов не знаком. Монографии (Чуи и Маллок), которые я читал меня не впечатлили.

vlad_light в сообщении #482773 писал(а):

Разве не от нуля?

Среднее значение гармонического сигнала как раз равно нулю .

[ewert]

vlad_light в сообщении #482703 писал(а):

$\delta \overline\in L_2(\mathbb R)$, но это невозможно, поскольку $\delta \in L_1(\mathbb R)$, а $L_1\subset L_2$.
Вопрос: где ошибка?

Тут сразу две ошибки.

Во-первых, наоборот, $L_2\subset L_1$, если какое-либо вложение вообще есть, т.е. если промежуток конечен (для дельта-функции его можно, в принципе, посчитать конечным; а вот на всей оси нет вложения ни в ту, ни в другую сторону).

Во-вторых, для обобщённых функций операция умножения в принципе не определена. И, в частности, бессмысленно возводить в квадрат дельта-функцию.

Впрочем, в определённом смысле и впрямь $\delta \overline\in L_2(\mathbb R)$: если интерпретировать дельта-функцию как предел дельтаобразных последовательностей (с прикладной точки зрения дело обстоит ровно так), то $L_1$-нормы членов этой последовательности будут фиксированы единицей, а вот их $L_2$-нормы будут стремиться именно к бесконечности.

[vlad_light]

Спасибо, ewert!
Задачка.
Доказать утверждения:
1. $f\in L_1(\mathbb R)\Rightarrow \mathfrak F f\in C $
2. $\mathfrak F f\in L_1(\mathbb R)\Rightarrow f\in C $
Сразу вопрс: в условии не указана область непрерывности. Имеется ввиду непрерывна на $\mathbb R$ или на каком-то компакте?
Доказательство:
$f=f_c+f_l$, где $f_c$ - непрерывная функция, а $f_l$ - функция скачков. Тогда
$(\mathfrak F f)(w)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jwt}dt=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} (f_c(t)+f_l(t))e^{-jwt}dt=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f_c(t)e^{-jwt}dt$
Последняя непрерывная, как суперпозиция непрерывных функций.
Второй пункт аналогично.
Проверьте, пожалуйста. Спасибо!

[vlad_light]

Задачка.
Доказать равенства с помощью преобразования Фурье:
1. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin (\pi t)}{\pi t}dt=1$
2. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin ^3t}{t^3}dt=\frac{3\pi}{4}$
Подскажите, с чего начать?

(Оффтоп)

Первый пример можно переписать в виде $(\mathfrak F (\frac{1}{\pi t}))(\pi)=j$, но ничего из этого получить не могу.

[profrotter]

Трудно сказать, что имеется ввиду под "доказать с помощью преобразования Фурье". Один из вариантов:
Докажем, что

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}sinc^2(\frac {\omega} 2)d\omega=8 \pi$$

В таблице преобразований Фурье есть такая пара (это симметричный треугольный импульс и его спектр):

$$(1-\frac {|t|} {\tau})rect(\frac t {\tau})\leftrightarrow \frac {\tau} 4 sinc^2(\frac {\omega \tau} 2)$$

Это означает, что

$$(1-\frac {|t|} {\tau})rect(\frac t {\tau})=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {\tau} 4 sinc^2(\frac {\omega \tau} 2)e^{j\omega t}d\omega$$

При $\tau=1$ и $t=0$ получим:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}sinc^2(\frac {\omega} 2)d\omega=8\pi$$

[Vince Diesel]

Интеграл от функции по прямой равен преобразованию Фурье от нее в нуле.

[ewert]

Ну например:

vlad_light в сообщении #483740 писал(а):

Доказать равенства с помощью преобразования Фурье:
1. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin (\pi t)}{\pi t}dt=1$

С чисто формальной точки зрения: если переписать в виде

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin (pt)}{pt}d(pt)=\pi\mathop{\mathrm{sign}}p,$

и потом учесть, что преобразование Фурье превращает умножение на независимую переменную в более-менее дифференцирование и наоборот -- то, наверное, что-то и выковырется. Только всё это достаточно нелепо: подобные интегралы принято считать просто по вычетам (ну там с модификациями, что касается второго).

[vladiko]

Первый интеграл можно вычислить используя теорему о свёртке:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin( t\pi)}{t\pi }dt=\frac{\sin\pi t}{\pi t}*1=F^{-1}(\Pi(\frac{\omega}{2\pi})\cdot\delta(\omega)\cdot2\pi)=F^{-1}(\delta(\omega)\cdot2\pi)=1$$

[profrotter]

vladiko в сообщении #484730 писал(а):

Первый интеграл можно вычислить используя теорему о свёртке:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin( t\pi)}{t\pi }dt=\frac{\sin\pi t}{\pi t}*1=F^{-1}(\Pi(\frac{\omega}{2\pi})\cdot\delta(\omega)\cdot2\pi)=F^{-1}(\delta(\omega)\cdot2\pi)=1$$

Если вам известна спектральная плотность $\frac{\sin( t\pi)}{t\pi }$ (которая у вас тут $\Pi(\frac{\omega}{2\pi})$), то вы сразу можете найти $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin( t\pi)}{t\pi }dt=\Pi(\frac{\omega}{2\pi})\rvert_{\omega=0}=1$, так как значение спектральной плотности в нуле равно интегралу от сигнала (следует непосредственно из прямого преобразования Фурье $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\rvert_{\omega=0}=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt$)

[vladiko]

profrotter
Так те же... только в профиль.

Во втором интеграле образ Фурье от $sinc^3(t)$ можно представить ,как свёртка треугольного и прямоугольного импульсов в частотной области.Ну и потом уже $\omega=0$