Найти все матрицы n*n,коммутирующие с любой другой матр. n*n

[RIP]

Capella писал(а):

$ a_{im}\cdot b_{mk} = b_{im} \cdot a_{mk} \to \frac {a_{im}\cdot b_{mk}} {b_{im}} = a_{mk}$

А если $b_{im}=0$?

[Capella]

А я беру для такого $m$ где коэффициент не равен 0, а все те которые равны 0 уже будут в сумме до $n-1$

[Lion]

Capella, скажите, Вы именно здесь пользуетесь тем, что матрицы $A$ и $B$ не скалярны? А то в Ваших предыдущих постах я этого не видел этого предположения.

[Capella]

Lion

$B$ у меня любая матрица, по меньшей мере один из коэффициетов которой по меньшей мере в каком-то одном столбце не равен нулю. Для такой матрицы я и доказываю некоммутативность, опираясь на то, что объединение всех таких матриц с единичными даст всё множество матриц. В принципе случай коммутативности сводится у меня к следующему равенству: $a_{kk}b_{kk} = b_{kk}a_{kk}$ из-за того, что именно в этом случае невозможно подобрать не равные коэффициенты (здесь всего 2 независимых коэффициента).

[RIP]

Capella писал(а):

$B$ у меня любая матрица, по меньшей мере один из коэффициетов которой не из главной диагонали не равен нулю. Для такой матрицы я и доказываю некоммутативность, опираясь на то, что объединение всех таких матриц с единичными даст всё множество матриц.

Это еще почему? А диагональные матрицы с различными элементами на диагонали куда делись?

Резюмирую.
Capella, мне кажется, что я почти понимаю Ваше док-во. И я не вижу большой разницы между Вашим док-вом и док-вом Lionа, разве что Ваше док-во сложнее, длиннее и непонятнее (для меня). Кроме того, в нем есть дырка, и оно еще не закончено.

[Capella]

Под множеством единичных я понимаю все матрицы такого типа $E(a), \phantom{0} a \in \mathbb{R}$ (они все коммутируют - но это уже заучено и понято всеми нами ещё до обсуждения) - я так понимаю, это Вы их называете диагональными (я сейчас уже точно не помню это обозначение). Если это так, то никуда не делись эти самые диагональные...

А различие в доказательствах - я не занимаюсь перебором, а так одно и то-же.

[RIP]

Capella, куда относится такая матрица?

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$$

У нее все недиагональные элементы нулевые. Но она не "типа $E(a)$". Или я что-то упустил в этой жизни?

[Capella]

Хорошо, эти я действительно ещё упустила, но это уже не столь важно... В конечном счёте, я Вам уже написала, какии матрицы я рассматриваю под видом В. Поправка принята.

Суть в другом, о чём я Вам хотела сказать и показать. Вы рассматриваете какую-то матрицу относительно разложения единичной. Но Вы возьмите матрицу близнец относительно Вашего разложения, т.е. с тем-же ненулевым коэффициентом (назовём его $a_{12}$ и Вы вынуждены искать новый контрпример, посколько и с единичной и с той матрицей она коммутирует). и так для каждого $n$, что по формуле незваного гостя даёт Вам огромное количество переборов $2n$ с каким-то членом. Я-же пыталась только уменьшить это количество и свести к общему виду - что тут более сложного для Вас? Наоборот, надо стремится сводить всё к общему виду - и есть суть доказательства.

Добавлено спустя 12 минут 22 секунды:

Да, эти матрицы не коммутируют. Они должны рассматриваться конечно в первой группе. Здесь надо снова рассмотреть по моей формуле от суммы. Коэффициенты будут иметь там разные индексы и не совпадать.

[RIP]

Capella писал(а):

Суть в другом, о чём я Вам хотела сказать и показать. Вы рассматриваете какую-то матрицу относительно разложения единичной. Но Вы возьмите матрицу близнец относительно Вашего разложения, т.е. с тем-же ненулевым коэффициентом (назовём его $a_{12}$ и Вы вынуждены искать новый контрпример, посколько и с единичной и с той матрицей она коммутирует). и так для каждого $n$, что по формуле незваного гостя даёт Вам огромное количество переборов $2n$ с каким-то членом. Я-же пыталась только уменьшить это количество и свести к общему виду - что тут более сложного для Вас? Наоборот, надо стремится сводить всё к общему виду - и есть суть доказательства.

Если честно, то я не понял, что Вы сейчас сказали. При чем здесь перебор? Мы же работаем не с конкретными числами, а в общем виде. Никакого перебора я лично не вижу вообще. Забудьте про фразу, которую так неосторожно обронил незваный гость. Он вкладывал в свои слова другой смысл (я так думаю).
Насчет того, что всё надо сводить к общему случаю, позволю себе не согласиться. Вы же не будете решать уравнение $x^2=0$ по общей формуле через дискриминант ( )
Предлагаю прекратить наш спор, пока я еще что-то понимаю (по крайней мере, мне так кажется)

[Capella]

RIP

В общем и целом ладно. Я своё доказательство привела, остальное мне, честно говоря, без разницы. У нас получилочь, что оба решения совпадают? Отлично, я не против, на том и закончим.

Добавлено спустя 37 минут 16 секунд:

RIP писал(а):

Если честно, то я не понял, что Вы сейчас сказали. При чем здесь перебор? Мы же работаем не с конкретными числами, а в общем виде

Дело в том, что по тому, как Вы всё описывали, я подумала о переборе не для разных коэффициентов, а о переборе для разных рангов матриц. Причём я это и написала на форуме (даже ещё раньше). Именно на это я Вам и пытаюсь указать.

[незваный гость]

Я, естественно, имел в виду «вычислительную сложность» метода (количество пробных матриц). Никакого перебора тут нет и в помине.

Ну давайте еще раз: $\forall j: X E_{j,j} = E_{j,j} X$. Следовательно $\forall i, j, i \not = j: x_{i,j} = 0$. Далее, $\forall j: X E_{1,j} = E_{1,j} X$. Следовательно $\forall j: x_{j,j} = x_{1,1}$, и, окончательно, $X = x_{1,1} E$.

Я, если честно, не вижу здесь перебора. Использование пробных матриц — это не перебор (по крайней мере, в обычном понимании этого термина). О переборе в доказательстве обычно говорят, когда пытаются исчерпать все возможные варианты (например, проблема четырех красок была решена перебором ~900 карт и доказательством сводимости остальных к одной из перебранных).

[bot]

Видел начало этой темы. Если бы было тогда время, ответил бы так же. С самого начала ведь так и было. Из перестановочности с любой матрицей вытекает перестановочность с пробными. Пробные выбираем так, чтобы сначала с необходимостью получить диагональность, а потом и скалярность исследуемой матрицы. То есть других перестановочных со всеми быть не может. Ну а скалярные очевидно со всеми перестановочны.

Очень удивлён разгоревшейся дискуссией по такому простому поводу. Уже трудно понять, кто что отстаивает.

[zychnyy]

Ведь диагональная матрица коммутативна со всеми матрицами(одного порядка)? Тогда у меня вопрос: почему матрица $AX=XA$ должна иметь одинаковые элементы на главной диагонали, а не произвольные?

(Оффтоп)

Вопрос задан применительно к исходной задаче в топике.

[ewert]

zychnyy в сообщении #742081 писал(а):

Ведь диагональная матрица коммутативна со всеми матрицами(одного порядка)?

Нет.

[zychnyy]

ewert можно пример? Или на словах.