Пусть

. Тогда

. В правой части произведение взаимно простых чисел. Поэтому равенство возможно лишь тогда, когда:

Откуда,

, что невозможно по гипотезе Каталана. Поэтому можно обобщить, взяв вместо

любое натуральное

.
Во-первых, a priori числа

не обязаны быть взаимно простыми. Здесь требуется дополнительное рассуждение, которое позволит свести решение задачи к рассмотрению только этого случая.
Во-вторых, весьма нетривиально доказываемая гипотеза Каталана здесь совершенно не нужна (да и не работает она, поскольку в ней идёт речь о равенстве вида

). Равенство

невозможно по банальной причине: поскольку

, имеем

.
В-третьих, к возможным обобщениям следует подходить очень аккуратно, ибо равенства указанного сорта могут весьма сложно исследоваться. В качестве "более простого" примера можно привести равенство

. Попробуйте доказать, что оно возможно только при

.