2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 00:07 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Существуют ли такие натуральные числа m, n, что $m^{20}+11^n$ является квадратом целого числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 00:30 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Пусть $m^{20}+11^n=p^2$. Тогда $11^n=p^2-m^{20}=(p+m^{10})(p-m^{10})$. В правой части произведение взаимно простых чисел. Поэтому равенство возможно лишь тогда, когда:
$\begin{cases}
p+m^{10}=11^n\\
p-m^{10}=1
\end{cases}$
Откуда, $2m^{10}=11^n-1$, что невозможно по гипотезе Каталана. Поэтому можно обобщить, взяв вместо $11$ любое натуральное $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 05:29 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
age в сообщении #481334 писал(а):
Пусть $m^{20}+11^n=p^2$. Тогда $11^n=p^2-m^{20}=(p+m^{10})(p-m^{10})$. В правой части произведение взаимно простых чисел. Поэтому равенство возможно лишь тогда, когда:
$\begin{cases} p+m^{10}=11^n\\ p-m^{10}=1 \end{cases}$
Откуда, $2m^{10}=11^n-1$, что невозможно по гипотезе Каталана. Поэтому можно обобщить, взяв вместо $11$ любое натуральное $a$.

Во-первых, a priori числа $p \pm m^{10}$ не обязаны быть взаимно простыми. Здесь требуется дополнительное рассуждение, которое позволит свести решение задачи к рассмотрению только этого случая.
Во-вторых, весьма нетривиально доказываемая гипотеза Каталана здесь совершенно не нужна (да и не работает она, поскольку в ней идёт речь о равенстве вида $x^a-y^b=\pm 1$). Равенство $2m^{10}=11^n-1$ невозможно по банальной причине: поскольку $m^5 \equiv \pm 1 \pmod{11}$, имеем $2m^{10}+1 \equiv 3 \not\equiv 0 \pmod{11}$.
В-третьих, к возможным обобщениям следует подходить очень аккуратно, ибо равенства указанного сорта могут весьма сложно исследоваться. В качестве "более простого" примера можно привести равенство $m^2+4=5^n$. Попробуйте доказать, что оно возможно только при $(m,n) \in \{(1,1),(11,3)\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 11:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #481341 писал(а):
Во-первых, a priori числа $p \pm m^{10}$ не обязаны быть взаимно простыми. Здесь требуется дополнительное рассуждение, которое позволит свести решение задачи к рассмотрению только этого случая.
Вы забыли его привести. Приведите.
nnosipov в сообщении #481341 писал(а):
В-третьих, к возможным обобщениям следует подходить очень аккуратно, ибо равенства указанного сорта могут весьма сложно исследоваться. В качестве "более простого" примера можно привести равенство $m^2+4=5^n$. Попробуйте доказать, что оно возможно только при $(m,n) \in \{(1,1),(11,3)\}$.
В-четвёртых, обобщить действительно можно именно так, как я указал. Если желаете можете с этим поспорить, если не знаете как именно, то прекратите флеймить и троллить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 11:44 


24/01/11
207
age в сообщении #481334 писал(а):
Тогда $11^n=p^2-m^{20}=(p+m^{10})(p-m^{10})$. В правой части произведение взаимно простых чисел.

Я тоже не понимаю, почему именно так

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 11:45 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Equinoxe в сообщении #481400 писал(а):
Я тоже не понимаю, почему именно так
Какой общий множитель могут иметь $p\pm m^{10}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 11:46 


24/01/11
207
age, да хоть бы и 11

-- Чт сен 08, 2011 11:48:04 --

Почему p и m не могут одновременно делиться на 11?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 11:50 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Потому что тогда можно сократить на $11^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 11:52 


24/01/11
207
age, но ведь это нам ничего не даст, т.к. мы сведёмся к другой степени у m

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 11:54 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Нет, мы получим другую пару $p\pm m^{10}$, которая уже взаимно проста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 11:55 


24/01/11
207
age, но ведь чтобы получить новую m^10 мы должны были разделить на 10-ую (20-ую в общем вроде) степень 11-ти, а не 2-ую, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 12:01 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Тогда $p$ делится на $11$ при $n>2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 12:06 


24/01/11
207
age, а чем это мешает? Мы вроде изначально полагали, что и m, и p делятся на 11

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 12:10 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Тем что опять можно сократить на 11 и заниматься этим до бесконечности, пока не получим ни $m^{10}$ ни $p$ не делятся на 11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 12:14 


24/01/11
207
Но ведь новое выражение, полученное делением на 11^2, уже не будет иметь вид старого, а значит нужны какие-то другие рассуждения. Я к тому, что разделив $11^n=(p-m^{10})(p+m^{10})$ на $11^2$ мы сохраним всё, кроме десятой степени. Что с этим делать?

(Оффтоп)

Заранее извиняюсь за непонятливость

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group