Форма записи уравнений несжимаемого тела

[Zai]

Нестационарные уравнения движения несжимаемого тела c единичной скоростью звука и плотность имеют вид:
$ \frac {\partial^2 U_x} {\partial t^2}=-\frac {\partila P} {\partial x}+( \frac {\partial^2 U_x} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 U_x} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 U_x} {\partial^2 z})- j_x$
$ \frac {\partial^2 U_y} {\partial t^2}=-\frac {\partila P} {\partial y}+( \frac {\partial^2 U_y} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 U_y} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 U_y} {\partial^2 z})- j_y$
$ \frac {\partial^2 U_z} {\partial t^2}=-\frac {\partila P} {\partial z}+( \frac {\partial^2 U_z} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 U_z} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 U_z} {\partial^2 z})- j_z$
$\frac {\partial^2 P} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 z}=-(\frac {\partial j_x} {\partial x}+\frac {\partial j_y} {\partial y}+\frac {\partial j_z} {\partial z})$
Обозначим $E= \frac {\partial U} {\partial t}$
$\frac {\partial } {\partial t} \Phi= P$
$B=- rot U$
Получаем
$\frac {\partial B} {\partial t}=- \operatorname {rot} E
$\frac {\partial E} {\partial t}=-\frac {\partial } {\partial t} \operatorname {grad} \Phi + \operatorname {rot} B-j
$\frac {\partial } {\partial t} \operatorname {\Delta} \Phi=- \operatorname {div} j

[Утундрий]

Спасибо за фразу вырванную посреди разговора. Начало оного привести извольте, будьте любезны. Уж.

[Zai]

Не так давно в теме на Нашем Форуме по давлению в параллепипеде, подверженному силами гравитации были приведены уравнения несжимаемого тела
post475164.html#p475164
Поиск этих уравнений дал ссылку
http://books.google.ru/books?id=_AFgrql ... &q&f=false
где в труде Mathematical and Physical Papers автора William Thomson Kelvin (1848 г.)
на стр. 99 присутсвовало утверждение
If the solid were incompressible, there would be as a connexion with the mathematical theory of electro-magnetism...
Переобозначая переменные деформируемого несжимаемого тела переменными близкими к уравнения Максвелла получились уравнения, очень похожие на уравнения Максвелла.

[Утундрий]

Zai в сообщении #481888 писал(а):

post475164.html#p475164

А, это там где долго думали почему одномерное проще трехмерного... И что же послужило причиной создания новой ветки на ту же тему?

[Zai]

Во первых, на предыдущей ветке рассматривалась статическая задача, а во вторых, если нет опечаток в вышеприведенных выкладках и уравнениях, то тогда описание эволюции по времени обыкновенной резины ( наиболее известного несжимаемого деформируемого тела), строго, в математическом смысле, схоже с описанием того, что описывают уравнения Максвелла.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Zai в сообщении #482051 писал(а):

описание эволюции по времени обыкновенной резины <...> схоже с описанием того, что описывают уравнения Максвелла

Схожа свыня на коня, тилькы хвист нэ такый ©

Извините уж за украинский, я знаю - он тут запрещен. Но не удержался.

[Zai]

(Оффтоп)

Не все сразу воспринимают внутреннюю красоту героев Шрека©
http://en.wikipedia.org/wiki/Shrek

В стандартной записи уравнений Максвелла есть некоторая переопределенность когда дивергенция вектора электрического поля равна плотности заряда, а в измененении по времени вектора электрического поля присутствует вектор плотности тока. Уравнения механики сплошной среды более строги к переопределенности, поэтому уравнение дивергенция вектора электрического поля заменено на производные по времени с одновременным использованием архаичного в последние сто лет для механики потенциала. В уравнениях измененения по времени вектора электрического поля рассматривается только компоненты завихренности поэтому из них вычитаются градиенты потенциала по времени. Это вызвано тем что изменение по времени вектора скорости в несжимаемом деформируемом теле зависят только от завихренной части распределенных внешних сил.

[Утундрий]

Стандартная запись уравнений Максвелла - четырехмерна...

[EvgenyGR]

Zai в сообщении #482051 писал(а):

то тогда описание эволюции по времени обыкновенной резины ( наиболее известного несжимаемого деформируемого тела), строго, в математическом смысле, схоже с описанием того, что описывают уравнения Максвелла.

А это у Вас все в Эйлеровых координатах, для упругого тела? Данные уравнения верны для малых смещений. Для больших смещений (как у резины), придется учитывать геометрическую нелинейность.

[Zai]

В деформируемом теле обычно рассматривается лагранжев подход, здесь уравнения представлены в переменных Лагранжа и для малых деформаций. Большие деформации резины характерны для коммерческих приложений - различного рода амортизаторы и виброгасители. Коммерческие виды резин кроме того имеют заметный коэффициент вязкости.
Точное соответствиие уравнений можно проверить с использованием математического моделирования или на аналитических решениях. Интересны также подходы по физическому моделированию. Известны подходы когда набором проводников моделировались пространственные течения вокруг крыла самолета в аэродинамике. Для задач деформируемого тела актуально моделирование в частотной области. Для распространения нестационарных (возможно ударных) электромагнитных волн сложно создать фиксирующую процесс измерительную аппаратуру. В несжимаемом деформируемом теле скорость распространения возмущений относительно невелика и проблем с измерениями существенно меньше.

[Утундрий]

Интересно, когда в итоге вся эта каша в Вашей голове спечётся в сырой и липкий (зато монолитный) ком, можно ли будет говорить о её кристаллизации?

[Zai]

Цитата:

Стандартная запись уравнений Максвелла - четырехмерна...

Вы как-то неадекватно реагируете на вовремя не отвеченный Ваш вопрос в предыдущем Вашем сообщении. Если будите чуть более терпеливы - станите через год-другой модератором на Нашем форуме, может даже в этом подразделе физики.
Приведенные уравнения несжимаемого деформируемого тела могут быть схожи только с нерелятивистскими уравнениями. Для большинства практических прикладных задач это допущение по всей видимости приемлемо.

[Утундрий]

Zai, да я просто не вижу, чем тут можно помочь. Знаете, бывают такие "постройки", которые проще развалять до основанья и выстроить заново, чем как-то реформировать или доусовершенствовать.

Zai в сообщении #482672 писал(а):

станите через год-другой модератором на Нашем форуме

Не стану. У меня нет для этого времени.

[Zai]

Цитата:

... и выстроить заново

Что же можно выстроить заново для определяющих уравнений несжимаемого деформируемого тела?

[Zai]

Цитата:

to Утундрий

По прошествии месяца последедней Вашей публикации в моей скромной, изрядно деформированной под Вашим понятным Вам Вашим замечательным интеллектом моей скромной механической темы, хотелось бы, чтобы Вы подновили Ваши соображения о месте механики сплошных сред в некоторых разделах общей физики, хотя бы истории развития физики, в том числе дорелятивистской электродинамики.