давление в центре Земли

[Zai]

(Оффтоп)

Цитата:

Конечно же — нет...
... По аналогии с напряженностью электрического поля...

Очевидность отсутствия завихренности в том что если поместить в точку массу с конечным моментом инерции, то точка в гравитационном поле никогда не придет в вращение в связи с потенциальностью гравитационного поля.
А что будет в Вашей электромагнитой аналогии, когда заряд вращается?

[Munin]

Ой, только не надо за рамки ньютоновской гравитации вылезать...

[Zai]

Цитата:

для несжимаемого тела в прямоугольных координатах

Напряжения будут иметь вид:
$\sigma_{xx}=-P+2\mu \frac {\partial U} {\partial x}$
$\sigma_{yy}=-P+2\mu \frac {\partial V} {\partial y}$
$\sigma_{zz}=-P+2\mu \frac {\partial W} {\partial z}$
$\sigma_{xy}=\mu ( \frac {\partial U} {\partial y}+ \frac {\partial V} {\partial x})$
$\sigma_{xz}=\mu ( \frac {\partial U} {\partial z}+ \frac {\partial W} {\partial x})$
$\sigma_{yz}=\mu ( \frac {\partial V} {\partial z}+ \frac {\partial W} {\partial y})$
Уравнения равновесия:

$$\left\{\begin{array}{c} \displaystyle \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{xz}}{\partial z}=\rho g_x\\ \displaystyle \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{yz}}{\partial z}=\rho g_y\\ \displaystyle \frac{\partial\sigma_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}=\rho g_z \end{array}\right.$$

Несжимаемость:
$\frac {\partial U} {\partial x}+ \frac {\partial V} {\partial y}+ \frac {\partial W} {\partial z}=0$
После преобразований:
$-\frac {\partila P} {\partial x}+\mu( \frac {\partial^2 U} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 U} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 U} {\partial^2 z})=\rho g_x$
$-\frac {\partila P} {\partial y}+\mu( \frac {\partial^2 V} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 V} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 V} {\partial^2 z})=\rho g_y$
$-\frac {\partila P} {\partial z}+\mu( \frac {\partial^2 W} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 W} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 W} {\partial^2 z})=\rho g_z$

$\frac {\partial^2 P} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 z}=-\rho(\frac {\partial g_x} {\partial x}+\frac {\partial g_y} {\partial y}+\frac {\partial g_z} {\partial z})$
В уравнение для давления явно модуль сдвига не входит, но он входит в граничные условия - нормальные напряжения и касательные напряжения на поверхности равны нулю.

[Александр Т.]

(Оффтоп)

Zai в сообщении #475105 писал(а):

Цитата:

Конечно же — нет...
... По аналогии с напряженностью электрического поля...

Очевидность отсутствия завихренности в том что если поместить в точку массу с конечным моментом инерции, то точка в гравитационном поле никогда не придет в вращение в связи с потенциальностью гравитационного поля.
А что будет в Вашей электромагнитой аналогии, когда заряд вращается?

Будет непотенциальное магнитное поле. Кроме того, если вращение (или даже простое движение) заряда — неравномерное, электрическое поле тоже будет непотенциальным.

Но я вообще-то имел в виду не электромагнитную аналогию, а электростатическую. А приплел я ее для того, чтобы не приводить выкладки, иллюстрирующие чисто математический факт: из того, что

$$ \vec{g}(\vec{r}) = - \int \dfrac {\gamma\rho(\vec{r}\,') \left(\vec{r}-\vec{r}\,'\right)} {\left|\vec{r}-\vec{r}\,'\right|^3} \, \mathop\mathrm{d{}} V(\vec{r}\,') , $$

следует, что

$$ \nabla\cdot\vec{g} = - 4\pi\gamma\rho ,\quad \nabla\times\vec{g} = 0 . $$

Если бы я знал, что Вам и без этого потенциальность гравитационного поля очевидна, я бы не стал здесь оффтопить. Я думал, что Ваш вопрос

Цитата:

Интересно, есть ли ненулевая завихренность у напряженности гравитационного поля?

не был риторическим.

[AndreyL]

Пока вот чего понял, поправьте,если ошибусь:
$x$-овая составляющая вектора тяжести в точке $x_0,y_0,z_0$
$g_x(x_0,y_0,z_0)=G\iiint\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}^3}dx dy dz$.
Тогда $\frac {\partial g_x} {\partial x}=G\iint\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}^3}dy dz$
причем интегралы определенные. Обозначим $\frac {\partial g_x} {\partial x}=L_x(x_0,y_0,z_0)$
Тогда дифференциальное уравнение будет выглядеть как
$\frac {\partial^2 P} {\partial^2 x_0}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 y_0}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 z_0}=-\rho(L_x(x_0,y_0,z_0)+L_y(x_0,y_0,z_0)+L_z(x_0,y_0,z_0))$
где $x_0,y_0,z_0$ имеют смысл независимых переменных.
Для решения еще зададим шесть условий на границах прямоугольного параллелепипеда типа $P(x_l_b,y_0,z_0)=0,P(x_u_b,y_0,z_0)=0$
Плюс, конечно, надо знать $\rho(x_0,y_0,z_0)$
Достаточно ли этого для решения поставленной задачи?