Про ряды

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Только начали в ВУЗе ряды проходить. Многим известно, что ряд

$$ \sum_{n = 1}^\infty \frac {1} {n^\alpha} $$

сходится при $\alpha$ > 1 и расходится при $\alpha \leqslant$ 1. Нам сказали подумать насчет того, что найти пример ряда $ \sum_{n = 1}^\infty f(n,\alpha)$, который бы сходился при $\alpha \leqslant$ 1 и расходился при $\alpha$ > 1. Или доказать, что таких рядов не существует...

[gris]

А какие ограничения наложены на функцию? А то просто пусть она равна ну.. при $\alpha \leqslant 1$ и еди.. при $\alpha>1$

[3.14]

Честно говоря, не знаю какие ограничения..Может функция должно строго возрастать или убывать..Блин, нужно было спросить. Я как-то сразу насчет ограничений не подумал. Испуганный на лекции сидел)) Новая и, наверное, тяжелая вещь эти ряды..

[ИСН]

Все вещи тяжёлые. Жизнь штука тяжёлая. Нет ножек - нет и мультиков.
Думайте про ограничения. Ответ без ограничений Вам уже дали.

[gris]

Ряды прекрасны...

Я чего-то подумал, что может быть надо найти ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac 1 {n^{f(\alpha)}}$, сходящийся только при $\alpha\leqslant 1$, где $f(\alpha)$ непрерывная функция? Тогда это может быть интересно.

[3.14]

gris наверное вы более точнее передали условие мной заданной задачи)))..И какие есть идеи?

[gris]

Ну иначе она слишком тривиальна. Вы то согласны, что ряд из повторяющейся константы сходится, если только она равна 0?

Идея в первоначальном условии состояла в том, что ряд из обратных степеней внезапно начинает сходиться, если показатель плавно возрастает. А от нас хотят придумать так, чтобы он наоборот, внезапно переставал сходиться при некотором плавном изменении.

[3.14]

Цитата:

Идея в первоначальном условии состояла в том, что ряд из обратных степеней внезапно начинает сходиться, если показатель плавно возрастает. А от нас хотят придумать так, чтобы он наоборот, внезапно переставал сходиться при некотором плавном изменении.

А это вообще возможно? Лектор сам нам сказал, что он не знает как решить эту задачу. Интересная проблема, но мне не по зубам)

[arseniiv]

А что, линейные функции отменили?

[gris]

Ну я же не знаю, какова была лекторская постановка задачи.
В моём случае надо найти непрерывную функцию, которая в 1 и левее была бы больше 1, а правее меньше или равна. Ну из свойств непрерывных функций можно сделать заключении о возможности существования такой.
Вообще это уже как бы функциональные ряды. А вы пока проходите числовые. Учите признаки, побольше решайте задач. Придумывайте разнообразные примеры и контрпримеры.

А что линейная функция? Она непрерывна, к сожалению. Или к счастью.

[arseniiv]

Ой, я перепутал сумму с интегралом и ещё кое-что.

[gris]

arseniiv, а по мотивам Вашей соседней темы можно дать непрерывное решение для первоначальной задачи:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac {\max_1\alpha-1} {n}$, сходится только при $\alpha\leqslant 1$

Надеюсь, это не нарушает Уложение, ибо постановка задачи не определена.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Давайте ещё как-нибудь сюда приложим знаменитейшую функцию $\operatorname{arsonic}$! Тогда, может, придёт Sonic86 и тоже предложит решение.

[Slip]

gris в сообщении #479740 писал(а):

Ряды прекрасны...

Я чего-то подумал, что может быть надо найти ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac 1 {n^{f(\alpha)}}$, сходящийся только при $\alpha\leqslant 1$, где $f(\alpha)$ непрерывная функция? Тогда это может быть интересно.

Ну так не бывает, потому что тогда должно быть $f(\alpha)>1$ при $\alpha\leqslant 1$ и $f(\alpha)\leqslant 1$ при $\alpha > 1$, то есть $f(1)>1$ и $f(\alpha)\leqslant 1$ при всех $\alpha > 1$, что противоречит непрерывности.

3.14 в сообщении #479728 писал(а):

Здравствуйте, участники форума. Только начали в ВУЗе ряды проходить. Многим известно, что ряд

$$ \sum_{n = 1}^\infty \frac {1} {n^\alpha} $$

сходится при $\alpha$ > 1 и расходится при $\alpha \leqslant$ 1. Нам сказали подумать насчет того, что найти пример ряда $ \sum_{n = 1}^\infty f(n,\alpha)$, который бы сходился при $\alpha \leqslant$ 1 и расходился при $\alpha$ > 1. Или доказать, что таких рядов не существует...

Ну, например, $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{e^{(\alpha-1)n}}{n^2}$ или $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{\alpha-2}}{\ln^2( n+1)}$ или... мало ли чего еще придумать можно;)

[Хорхе]

$$f(n,\alpha) = \begin{cases}0,& \alpha\le 1,\\ 1, & \alpha > 1. \end{cases} $$