Функция Гудермана

[PSP]

Функция Гудермана, названная в честь Кристофа Гудермана (1798—1852), связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0
http://mathworld.wolfram.com/Gudermannian.html
Функция Гудермана - насколько может быть полезна для работы с псевдоевклидовыми пространствами ?

[sergei1961]

Интересно, есть ли такое обобщение. Ведь обычные функции Бесселя от чисто мнимого аргумента (с точностью до несущественных довесков)-это модифицированные функции Бесселя, Макдональда и пр. Для них можно подобрать подобную чисто вещественную функция скажем $s(x)$, чтобы было что-то вроде : $J_{\nu}(s(x))=I_{\nu}(x)$ ?

[PSP]

sergei1961 в сообщении #478131 писал(а):

Интересно, есть ли такое обобщение. Ведь обычные функции Бесселя от чисто мнимого аргумента (с точностью до несущественных довесков)-это модифицированные функции Бесселя, Макдональда и пр. Для них можно подобрать подобную чисто вещественную функция скажем $s(x)$, чтобы было что-то вроде : $J_{\nu}(s(x))=I_{\nu}(x)$ ?

Куда тут копать, не знаю.
А вот с функцией Гудермана можно кое-куда копать, используя тот факт, что тригонометрические и гиперболические функции - часть эллиптических функций..
Если же обычные функции Бесселя имеют что-то общее с эллиптическими функциями, то можно что-то найти...
Вот вам, математики, тема для исследования...

/Кстати, функция Гудермана может быть определена как решение дифференциального уравнения...Какого ?/

[Утундрий]

PSP в сообщении #478169 писал(а):

Кстати, функция Гудермана может быть определена как решение дифференциального уравнения...Какого ?

Всяко не менее уродливого нежели она сама Через элементарные выражается, однако, а значит - улыбаемся и машем дифференцируем и смотрим, дифференцируем и смотрим...

[alcoholist]

Это же просто функция Лобачевского (угол параллельности)

[PSP]

alcoholist в сообщении #478209 писал(а):

Это же просто функция Лобачевского (угол параллельности)

А где первоисточник ?

[alcoholist]

ну, первоисточник затруднюсь процитировать, наверное труды Казанского университета:)))... Однако, вот ссылочка

-- Вс авг 28, 2011 01:26:20 --

$\rm{gd}(x)=\Pi(-x)-\pi/2$

[PSP]

alcoholist в сообщении #478213 писал(а):

ну, первоисточник затруднюсь процитировать, наверное труды Казанского университета:)))... Однако, вот ссылочка

-- Вс авг 28, 2011 01:26:20 --

$\rm{gd}(x)=\Pi(-x)-\pi/2$

Верно.Не перестаёшь удивляться неожиданностям математики...
Это значит, что при работе с псевдлевклидовыми пространствами функция Гудермана не просто полезна будет, а несёт определённый смысл.Вот здорово!

[sergei1961]

1. Лобачевского-правда удивительно.
2. Понятно, что синус-косинусы можно на Якоби поменять, но мне кажется -такое где-то видел.
3. Дифур-он понятен: $gd'(x)=\frac{1}{\ch x}, gd(0)=0$. Можно и поизвращаться, выразить из этой формулы $\ch x$ и подставить в дифур для него.
4. А с Бесселями-мне кажется, это новая интересная задача.

[bayak]

PSP в сообщении #478215 писал(а):

alcoholist в сообщении #478213 писал(а):

ну, первоисточник затруднюсь процитировать, наверное труды Казанского университета:)))... Однако, вот ссылочка

-- Вс авг 28, 2011 01:26:20 --

$\rm{gd}(x)=\Pi(-x)-\pi/2$

Верно.Не перестаёшь удивляться неожиданностям математики...
Это значит, что при работе с псевдлевклидовыми пространствами функция Гудермана не просто полезна будет, а несёт определённый смысл.Вот здорово!

Если на псевдоевклидовой плоскости задан такой вектор $\vec{c}=(x,y)$, что гиперболический угол между этим вектором и базисным вектором $\vec{x}$ равен $\varepsilon= -\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x+y}{x-y}\right|$, а изотропные прямые $y=-x, y=x$ ортогональны в евклидовом смысле, то $e^{-2\varepsilon}=\tg\alpha$, где $\alpha$ - евклидов угол между вектором $\vec{c}$ и изотропной прямой $y=x$. Тогда $\rm{gd} (-2\varepsilon)= \pi/2-\alpha$.

Заметим при этом, что имеет место формула

$$\tanh(-\varepsilon)=\frac{y}{x}= \frac{\sqrt{\tg\alpha}-\sqrt{\ctg\alpha}}{\sqrt{\tg\alpha}+\sqrt{\ctg\alpha}} =\frac{\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} - \sqrt{\frac{x-y}{x+y}}}{\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} + \sqrt{\frac{x-y}{x+y}}}.$$

Кроме того, если Вам это интересно, замечу, что периодичность по гипеболическому синусу вылезает в уравнении 2.31

[PSP]

Уважаемый bayak ,полезная информация,благодарю!

[Lia]

PSP
Не злоупотребляйте избыточным цитированием. Так ли оно вообще здесь нужно?
Отредактируйте пост, пожалуйста.

[PSP]

Lia в сообщении #961026 писал(а):

PSP
Не злоупотребляйте избыточным цитированием. Так ли оно вообще здесь нужно?
Отредактируйте пост, пожалуйста.

Благодарю за замечание.Исправил.

[bayak]

PSP в сообщении #961023 писал(а):

Уважаемый bayak ,полезная информация,благодарю!

Тогда вот Вам ещё одна геометрическая интерпретация функции Гудермана. Возьмём псевдоевклидову плоскость $(x,t)$, свернём её в трубочку $\left(x,e^{i\frac{\pi}{2}t}\right)$ и спроектируем эту трубочку на полосу $(x,y)$, где $y=\sin\frac{\pi}{2}t$. Тогда прямые псевдоевклидовой плоскости отобразятся в пилообразные ломаные, но модули гиперболических углов наклона прямых к оси $x$ сохраняются и на полосе. Таким образом, угол

$$\rm{arcgd}\left(\frac{\pi}{2}t\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin\frac{\pi}{2}t}{1-\sin\frac{\pi}{2}t}\right)$$

следует интерпретировать как гиперболический угол наклона вектора $\vec{c}=(1,\sin\frac{\pi}{2}t)$ полосы $(x,y)$ и соответствующего вектора плоскости $(x,t)$ к оси $x$.

[bayak]

Немного наврал - гиперболический угол на полосе не равен соответствующему углу на плоскости.