Функция Гудермана

[PSP]

bayak в сообщении #961563 писал(а):

Немного наврал - гиперболический угол на полосе не равен соответствующему углу на плоскости.

А как должно быть правильно ?

[bayak]

На плоскости гиперболический угол будет равен $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)$, где $|t|<1$, что отличается от вышеприведенного значения угла на полосе.

И вообще всё я напутал - вектор на полосе никак не связан с вектором на плоскости.

[bayak]

bayak в сообщении #961424 писал(а):

Тогда вот Вам ещё одна геометрическая интерпретация функции Гудермана. Возьмём псевдоевклидову плоскость $(x,t)$, свернём её в трубочку $\left(x,e^{i\frac{\pi}{2}t}\right)$ и спроектируем эту трубочку на полосу $(x,y)$, где $y=\sin\frac{\pi}{2}t$. Тогда прямые псевдоевклидовой плоскости отобразятся в пилообразные ломаные, но модули гиперболических углов наклона прямых к оси $x$ сохраняются и на полосе. Таким образом, угол

$$\rm{arcgd}\left(\frac{\pi}{2}t\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin\frac{\pi}{2}t}{1-\sin\frac{\pi}{2}t}\right)$$

следует интерпретировать как гиперболический угол наклона вектора $\vec{c}=(1,\sin\frac{\pi}{2}t)$ полосы $(x,y)$ и соответствующего вектора плоскости $(x,t)$ к оси $x$.

А сворачивая псевдоевклидову плоскость в тор, можно получить двумерное обобщение обратной функции Гудермана

$$\rm{arcgd}(x,t)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\cos x+\sin t}{\cos x-\sin t}\right),$$

и интересно было бы получить комплексно-аналитическое расширение этой функции.

[PSP]

bayak в сообщении #963319 писал(а):

bayak в сообщении #961424 писал(а):

Тогда вот Вам ещё одна геометрическая интерпретация функции Гудермана. Возьмём псевдоевклидову плоскость $(x,t)$, свернём её в трубочку $\left(x,e^{i\frac{\pi}{2}t}\right)$ и спроектируем эту трубочку на полосу $(x,y)$, где $y=\sin\frac{\pi}{2}t$. Тогда прямые псевдоевклидовой плоскости отобразятся в пилообразные ломаные, но модули гиперболических углов наклона прямых к оси $x$ сохраняются и на полосе. Таким образом, угол

$$\rm{arcgd}\left(\frac{\pi}{2}t\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin\frac{\pi}{2}t}{1-\sin\frac{\pi}{2}t}\right)$$

следует интерпретировать как гиперболический угол наклона вектора $\vec{c}=(1,\sin\frac{\pi}{2}t)$ полосы $(x,y)$ и соответствующего вектора плоскости $(x,t)$ к оси $x$.

А сворачивая псевдоевклидову плоскость в тор, можно получить двумерное обобщение обратной функции Гудермана

$$\rm{arcgd}(x,t)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\cos x+\sin t}{\cos x-\sin t}\right),$$

и интересно было бы получить комплексно-аналитическое расширение этой функции.

Очень интересный результат.
Мне в итоге представляется, что тогда с помощью этих функций пространства,описываемые с помощью комплексных,двойных и гиперкомплексных и гипердвойных чисел можно описать только действительными числами...
Или я ошибаюсь ?

[Утундрий]

Кстати, комплексное число тоже можно описать действительными числами. Причём, ровно двумя. Это очень интересный результат. Не ясно только, что же из него следует...

[PSP]

Утундрий в сообщении #963400 писал(а):

Кстати, комплексное число тоже можно описать действительными числами. Причём, ровно двумя. Это очень интересный результат. Не ясно только, что же из него следует...

Это азы.
Есть ещё двойные числа,есть дуальные (правда, у них там с нулём особенности ). Они тоже парами чисел выражаются.
момент в том, что там есть ещё особая единица -$\xi $ квадрат которой -1,0,+1. Вот обойтись без неё было бы любопытно....

[Утундрий]

PSP в сообщении #963406 писал(а):

Это азы.

Нет, это сарказм.

[arseniiv]

PSP в сообщении #963406 писал(а):

момент в том, что там есть ещё особая единица -$\xi $ квадрат которой -1,0,+1. Вот обойтись без неё было бы любопытно....

Почему особая? $(0,1)$ это, и только.

[PSP]

Утундрий в сообщении #963407 писал(а):

PSP в сообщении #963406 писал(а):

Это азы.

Нет, это сарказм.

И это тоже есть.
Если же без этих психологических моментов, то вопрос можно сформулировать так :
Можно ли числовую систему пар $\left\lbraceф a,b \right\rbrace$ отобразить в $\left\lbrace a \right\rbrace$,за счёт усложнения функций ?
Может, я несколько неуклюже выразился ?

[arseniiv]

Явно. Упорядоченные пары обычно обозначают $(a,b)$, а фигурные скобки обычно обозначают множества, но всё равно вопрос непонятно в чём. Вообще, любую функцию $f\colon A\times B\to C$ можно преобразовать в единственную $g\colon A\to C^B$, где $C^B$ — множество функций из $B$ в $C$, удовлетворяющую соотношению $f(a, b) = g(a)(b)$, это называется каррированием (currying). Так что любую функцию $f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ можно превратить в функцию вещественного аргумента $g\colon\mathbb R\to\mathbb C^{\mathbb R}$, которую, в свою очередь, можно разделить на две — одна выдаёт действительную часть результата, другая мнимую (у этого преобразования функции $A\to B\times C$ в пару функций $A\to B$ и $A\to C$ особого названия нет).

[Утундрий]

PSP в сообщении #963416 писал(а):

Можно ли числовую систему пар $\left\lbraceф a,b \right\rbrace$ отобразить в $\left\lbrace a \right\rbrace$,за счёт усложнения функций ?

Да это запросто: $\left\{ {a,b} \right\} \mapsto \left\{ a \right\}$. Всё, отобразили.

[arseniiv]

А вообще карринг я зря упомянул, он здесь ни к чему: к функциям нескольких аргументов все привычны. А функция нескольких аргументов ведь есть функция от кортежа. $\sin(1+2i)$ — это ни что иное как $\sin(1,2)$. Просто делим его на две части $\sin_\mathrm{Re},\sin_\mathrm{Im}\colon\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$.

-- Сб янв 17, 2015 03:09:23 --

Хотя да, телепатить не стоит. Лучше подождать уточнений вопроса от PSP. Может, всё банальнее…

[PSP]

arseniiv в сообщении #963437 писал(а):

А вообще карринг я зря упомянул, он здесь ни к чему: к функциям нескольких аргументов все привычны. А функция нескольких аргументов ведь есть функция от кортежа. $\sin(1+2i)$ — это ни что иное как $\sin(1,2)$. Просто делим его на две части $\sin_\mathrm{Re},\sin_\mathrm{Im}\colon\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$.

-- Сб янв 17, 2015 03:09:23 --

Хотя да, телепатить не стоит. Лучше подождать уточнений вопроса от PSP. Может, всё банальнее…

arseniiv прав,всё банально.Я в своё время как-то считал, что в физике желательно обходиться без комплексных и т.п. чисел, оперируя только вещественными числами Ну и применяя факт равномощности квадрата и отрезка, везде заменять пары чисел одним числом, но более с хитрыми функциями.Поэтому Функция Гудермана мне и понравилась.
Сейчас отношусь к этому более спокойно.
Поэтому сию тему можно закрыть.Она имела скорее даже психологическое значение,чем математическое.