Доказать равенство с множествами

[xmaister]

Пусть $A$-открытое, $X$-произвольное. Доказать, что $\overline{A\cap \overline{X}}=\overline{A\cap X}$

Одно включение понятное: $(A\cap X\subset A\cap\overline{X})\Rightarrow (\overline{A\cap X}\subset \overline{A\cap\overline{X}})$

А со вторым туплю. Получается, что $\overline{A\cap \overline{X}}\subset\overline{A}\cap\overline{X}$. Но $A$-открытое и отсюда не следует, что $\overline{A\cap \overline{X}}\subset\overline{A\cap X}$

[AssemblerIA64]

Интересно, а если $A$ не является открытым множеством, то это равенство неверно? Пробовал подобрать контрпример - не получилость.
Хотя, это не очень поможет при решении...

[xmaister]

$(\overline{A\cap\overline{X}}\subset\overline{A\cap X})\Leftrightarrow [(\overline{A\cap\overline{X}}-\overline{A\cap X})=\varnothing]$
$\overline{A\cap\overline{X}}-\overline{A\cap X}\subset\overline{(A\cap\overline{X})-(A\cap X)}=\overline{A\cap (\overline{X}-X)}\subset$ $\overline{A}\cap\overline{(\overline{X}-X)}$

Не равна эта штука пустому множеству. Непонимаю....

[xmaister]

Попытался исходить из того, что $(\overline{A\cap\overline{X}}\subset {A\cap\overline{X}})\Leftrightarrow (\overline{A\cap\overline{X}}\cap {A\cap\overline{X}}=\overline{A\cap\overline{X}})$
Думал использовать, что, если $A$-открыто, то $1-A$- замкнуто, значит $\overline{(1-A)\cap\overline{X}}=(1-A)\cap\overline{X}$ тоже не вышло.

Я скорее всего не вижу очевидного. Подскажите, как тут можно иначе решать?

[Someone]

AssemblerIA64 в сообщении #477928 писал(а):

Интересно, а если $A$ не является открытым множеством, то это равенство неверно?

Например, на числовой прямой можно взять $A=\{0\}$, $X=(0,1)$. Тогда $A\cap X=\varnothing$, $A\cap\overline X=\{0\}$, поэтому $\overline{A\cap X}\neq\overline{A\cap\overline X}$.

[xmaister]

Теперь ясно, что, условие: $A$- открытое, существенно. Но как это использовать можно?

[Someone]

xmaister в сообщении #478138 писал(а):

Я скорее всего не вижу очевидного.

Попробуйте начать так: пусть $x\in\overline{A\cap\overline X}$. Покажите, что $x\in\overline{A\cap X}$. Для этого, собственно говоря, нужно показать, что для любой (открытой) окрестности $Ox$ точки $x$ будет $Ox\cap(A\cap X)\neq\varnothing$.

Или это надо вывести из аксиом замыкания, приведённых в книге Куратовского и Мостовского?

xmaister в сообщении #478167 писал(а):

Теперь ясно, что, условие: $A$- открытое, существенно. Но как это использовать можно?

Вероятно, надо как-то воспользоваться тем, что $1-A$ замкнуто, то есть, $\overline{1-A}=1-A$.

[xmaister]

Someone в сообщении #478176 писал(а):

Или это надо вывести из аксиом замыкания, приведённых в книге Куратовского и Мостовского?

Наверное да, т.к. задача Куратовского-Мостовского (стр. 40, №1). А там кроме аксиом и простейших свойств из них ничего не приводят

[alcoholist]

Someone в сообщении #478176 писал(а):

пусть $x\in\overline{A\cap\overline X}$

это значит, что любая окрестность $O$ точки $x$ пересекается с $A\cap\overline X$, т.е. $(O\cap A)\cap\overline X$ непусто

И тут играет открытость $A$: пересечение открытого множества $A\cap O$ с замыканием множества $X$ осначает и непустоту пересечения $A\cap O\cap X$

[xmaister]

alcoholist в сообщении #478180 писал(а):

пересечение открытого множества $A\cap O$ с замыканием множества $X$ осначает и непустоту пересечения $A\cap O\cap X$

Непонимаю, это откуда? И вообще, где посмотреть определение окрестности точки?

[alcoholist]

Окрестность точки по определению -- любое открытое множество, ее содержащее

Определение замыкания: точка принадлежит замыканию множества, если любая ее окрестность пересекается с данным множеством


Это стандартные определения -- смотрите в любом учебнике (кроме бурбаки)

[xmaister]

alcoholist
Ну я и смотрю в учебнике. Там приведено 4 аксиомы замыкания и простейшие свойства из них.

(Оффтоп)

Определение окрестности там нету

-- 28.08.2011, 01:05 --

Это равенство вообще можно доказать, использую только эти аксиомы?

[Someone]

xmaister в сообщении #478197 писал(а):

Определение окрестности там нету

Что определения там нету - неважно, мы можем и сами определить: (открытой) окрестностью точки $x$ называется произвольное открытое множество, содержащее точку $x$ (эпитет "открытая" часто опускают, но иногда термин "окрестность" означает произвольное множество, внутренность которого содержит точку $x$). Ну, alcoholist уже определение окрестности дал. Его определение замыкания мы использовать не можем, так как замыкание уже определено, и это утверждение надо доказывать как теорему. Термины "окрестность" и "открытая окрестность" могут использоваться в топологии также в несколько другом смысле, но это для решения обсуждаемой задачи не нужно.

Вам нужно доказать вспомогательное утверждение, которое alcoholist сформулировал в виде определения: $x\in\overline X$ тогда и только тогда, когда для всякой открытой окрестности $Ox$ точки $x$ выполняется условие $X\cap Ox\neq\varnothing$. Проще всего "от противного": если существует такая открытая окрестность $Ox$ точки $x$, что $X\cap Ox=\varnothing$, то $x\notin\overline X$.

Другие свойства, которые могут быть полезными:
объединение двух (и вообще конечного числа) замкнутых множеств есть замкнутое множество (следует из аксиомы (1));
пересечение (иногда используется термин "произведение") двух (и вообще конечного числа) открытых множеств есть открытое множество (следует из предыдущего свойства, если перейти к дополнениям и воспользоваться законами де Моргана).

После этого уже легко доказать требуемое равенство, используя подсказку alcoholistа.

[xmaister]

$x\in A\cap\overline{X}$. Пусть $O$- окрестность точки $x$. $x\in O\cap A$, $O\cap A$- открыто. $x\in\overline{O\cap A}$. Если использовать то вспомогательное утверждение, что $(x\in\overline{X})\Leftrightarrow (X\cap O\ne\varnothing)$, тогда $x\in\overline{X\cap A}$. Тогда $\overline{A\cap\overline{X}}\subset\overline{A\cap X}$. Так будет правильно?

[Oleg Zubelevich]

$\overline{A\cap\overline X}\subseteq\overline A\cap\overline X=A\cap\overline X$
Пусть $x\in A\cap\overline X$ Тогда найдется сеть $\{x_\psi\}\subset X$ такая, что $x_\psi\to x$.
Поскольку $A$-- открыто, то найдется $\psi'$ такое, что для любого $\psi\ge \psi'$ будет $x_\psi\in A\cap X$. Поэтому $x\in \overline{ X\cap A}$. Доказано, что $\overline{A\cap\overline X}\subseteq \overline{ X\cap A}$