Доказать равенство с множествами

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #478287 писал(а):

$\overline{A\cap\overline X}\subseteq\overline A\cap\overline X=A\cap\overline X$

Это почему? Ведь $A$-открытое.

[Oleg Zubelevich]

Тьфу! невнимательность

[Someone]

xmaister в сообщении #477438 писал(а):

Пусть $A$-открытое, $X$-произвольное. Доказать, что $\overline{A\cap \overline{X}}=\overline{A\cap X}$

Одно включение понятное: $(A\cap X\subset A\cap\overline{X})\Rightarrow (\overline{A\cap X}\subset \overline{A\cap\overline{X}})$

xmaister в сообщении #478274 писал(а):

$x\in A\cap\overline{X}$. Пусть $O$- окрестность точки $x$. $x\in O\cap A$, $O\cap A$- открыто. $x\in\overline{O\cap A}$. Если использовать то вспомогательное утверждение, что $(x\in\overline{X})\Leftrightarrow (X\cap O\ne\varnothing)$, тогда $x\in\overline{X\cap A}$. Тогда $\overline{A\cap\overline{X}}\subset\overline{A\cap X}$. Так будет правильно?

Как-то не совсем вразумительно. Я доказывал бы так.
Пусть $x\in\overline{A\cap\overline X}$, $Ox$ - произвольная открытая окрестность точки $x$. Тогда $Ox\cap(A\cap\overline X)\neq\varnothing$, то есть, $(Ox\cap A)\cap\overline X\neq\varnothing$. Так как множество $O=Ox\cap A$ открыто, отсюда следует, что $(Ox\cap A)\cap X\neq\varnothing$ (пользуемся тем, что если $O\cap X=\varnothing$, то $X\subset 1-O$ и, следовательно, $\overline X\subset\overline{1-O}=1-O$, то есть, $\overline X\cap O=\varnothing$). Поэтому $Ox\cap(A\cap X)\neq\varnothing$, а так как $Ox$ - произвольная открытая окрестность точки $x$, то $x\in\overline{A\cap X}$. Из этих рассуждений следует требуемое обратное включение: $\overline{A\cap\overline X}\subset\overline{A\cap X}$.
Можно сравнить это с доказательством у Куратовского (К.Куратовский. Топология. Том 1. "Мир", Москва, 1966. § 5, пункт III).
Так как $A=1-(1-A)=1-\overline{1-A}$, то $A\cap\overline X=\overline X-\overline{1-A}\subset\overline{X-(1-A)}=\overline{A\cap X}$. Включение $A\cap\overline X\subset\overline{A\cap X}$ влечёт включение $\overline{A\cap\overline X}\subset\overline{A\cap X}$ и, так как из $X\subset\overline X$ следует $\overline{A\cap X}\subset\overline{A\cap\overline X}$, получаем $\overline{A\cap\overline X}=\overline{A\cap X}$.