упростить дивергенцию

[Утундрий]

petr11 в сообщении #477184 писал(а):

прошу прощения за видимо такое неудачное обозначение вектора $r$ и я немного переформулирую вопрос чтобы он был понятнее, имеется следующее выражение $M\vec{a}=\vec{b}-\frac{(M^{-1}\vec{c},\vec{b})}{(\vec{c},M^{-1}\vec{c})}\vec{c}$ где $M$ некоторая квадратная симметричная матрица размерностью $3$ элементы которой не зависят от $x_1,x_2,x_3$ , $\vec{a}:(a_1(x_1,x_2,x_3),a_2(x_1,x_2,x_3),a_3(x_1,x_2,x_3))$, $\vec{b}:(b_1(x_1,x_2,x_3),b_2(x_1,x_2,x_3),b_3(x_1,x_2,x_3))$, а $\vec{c}$ некоторый постоянный вектор, $( , )$-обозначает скалярное произведение 2 векторов, нужно получить формулу для $ \operatorname{div}(\vec{a})$

Домножить слева на $\[M^{ - 1} \]$ и вычислить $\[\operatorname{div} \]$ как написал выше Александр Т.

(Если, конечно, М слева и справа равенства - одно и то же. В чём, учитывая тягу ТС-а к выбору наименее общепринятых обозначений, возникают некоторые сомнения.)

[Kallikanzarid]

petr11 в сообщении #477507 писал(а):

А если матрица $A=\vec{a}\bigotimes \vec{a}$-тензорное произведение 2 векторов?

А как она действует на вектор?

[petr11]

так же как и раньше $A\vec{c}$, где $\vec{ c}:(c_1(x_1,x_2,x_3),c_2(x_1,x_2,x_3),c_3(x_1,x_2,x_3))$

[Kallikanzarid]

petr11
Упражнение: проверьте некорректность этого построения.

[petr11]

$A=\overrightarrow{a}\bigotimes \overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix} a_1^2 & a_1 a_2 & a_2 a_3 \\ a_2a_1 & a_2^2 & a_2 a_3 \\ a_1 a_3 & a_2 a_3 & a_3^2 \end{matrix} \right]$ далее получившаяся матрица умножается на вектор: $\left[ \begin{matrix} a_1^2 & a_1 a_2 & a_2 a_3 \\ a_2a_1 & a_2^2 & a_2 a_3 \\ a_1 a_3 & a_2 a_3 & a_3^2 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} b_1(x_1,x_2,x_3) \\ b_2(x_1,x_2,x_3)\\ b_3(x_1,x_2,x_3)\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} c_1(x_1,x_2,x_3) \\ c_2(x_1,x_2,x_3)\\ c_3(x_1,x_2,x_3)\end{matrix} \right]$ можно ли $ \operatorname{div}(\vec{c})=K \operatorname{div}(\vec{b})$ ?

[Kallikanzarid]

petr11
Еще раз, у вас получается неинвариантное построение.

[petr11]

Kallikanzarid можно объяснить пожалуйста поподробнее, $\vec{c}$ получается не вектор что ли ?

[Kallikanzarid]

petr11 в сообщении #477762 писал(а):

Kallikanzarid можно объяснить пожалуйста поподробнее, $\vec{c}$ получается не вектор что ли ?

В разных картах при таком определении у вас вектор $c$ будет разным, то есть его координаты не будут преобразовываться так, как они должны преобразовываться по определению вектора.

[petr11]

А можно это как нибуть на формулах увидеть и можно в принципе у такого объекта дивергенцию посчитать ?

[Kallikanzarid]

petr11
Легко. Почитайте в учебнике по тензорному анализу про ковариантность/контравариантность, посчитайте формулу преобразования координат для вашего $c$ - и вы сами все прекрасно увидите :) Это совсем несложно.

Если вы хотите более удовлетворительного объяснения, то почитайте учебник по дифференциальной геометрии, там дается явное построение касательного расслоения и объясняется, почему касательные векторы, ковекторы и тензоры имеют именно такие преобразования координат.

[petr11]

А что если есть уравнение $M\vec{c}=\vec{d}$ где $M=(m+h\vec{a}^2)E-m \overrightarrow{a}\bigotimes \overrightarrow{a}$ $E$ единичная матрица далее его преобразовать к следующему виду $M\frac{\partial c_i}{\partial x_j}=\frac{\partial d_i}{\partial x_j}$ и далее $\frac{\partial c_i}{\partial x_j}=M^{-1}\frac{\partial d_i}{\partial x_j}$ если взять след от обоих сторон то слева образуется $\operatorname{div}(\vec{c})$ равная следу от произведения 2 матриц где $M^{-1}=\frac{m \overrightarrow{a}\bigotimes \overrightarrow{a}+h E }{h(m\vec{a}^2+h)}$ можно ли в принципе $\operatorname{Tr}(M^{-1}\frac{\partial d_i}{\partial x_j})$ выразить через $\operatorname{div}(\vec{d})$ и все ли у меня тут сделано корректно ?