Множества: выразить объединение через перес-ние и сим. разн.

[xmaister]

Здравствуйте! Заранее извиняюсь за ламерский вопрос...
В задаче требуется выразить объединение двух множеств через симметрическую разность и пересечение.
$x\in A\cup B\equiv x\in A\vee x\in B$
$x\in A\equiv p$, $x\in B\equiv q$
$x\in A\cup B\equiv p\vee q\equiv (p\vee q)\wedge (\bar{q}\vee q)\equiv$
$[(p\vee q)\wedge\bar{q}]\vee[(p\vee q)\wedge q]\equiv (p\wedge\bar{q})\vee(p\wedge q)\vee q\equiv $
$(p\wedge\bar{q})\vee(p\wedge q)\vee q\wedge(\bar{p}\vee p)\equiv (p\wedge\bar{q})\vee(\bar{p}\wedge q)\vee (p\wedge q)$.
$A\cup B=(A\triangle B)\cup(A\cap B)$. Т.е. объединение выразилось через симметрическую разность, пересечение и тоже объединение. А как от этого объединения избвавиться понять не могу....

[Whitaker]

$A\bigcup B=(A\Delta B)\Delta (A\bigcap B)$

[gris]

Что-то подобное обсуждалось давно.
Идея такая: симметрическая разность непересекающихся множеств равна их объединению. А симметрическая разность множества и подмножества равна обычной разности множества и подмножества. Ну и посмотрите на кругах Венна. Первым шагом сделайте симметрическую разность одного из двух множеств и пересения этих множеств.
Упс. формулой то быстрее
А у меня получилось $A\bigcup B=A\Delta (B\Delta (A\bigcap B))$

[ellipse]

Докажите сначала, что $A\triangle B = (A\cup B) \setminus (A\cap B)$.
Отсюда видно, что $(A\triangle B) \cup (A\cap B) = (A\cup B)$ поскольку $(A\cap B) \subset (A\cup B)$.
А также $(A\triangle B) \cap (A\cap B) = \varnothing$.

$ (A\triangle B) \triangle (A\cap B) = ((A\triangle B) \cup (A\cap B)) \setminus ((A\triangle B) \cap (A\cap B)) = \\= (A\cup B) \setminus \varnothing = A\cup B$

[xmaister]

ellipse, спасибо. Вашим способом понятно...
Но, если я продолжаю по своему, получается следующее:
$(p\wedge\bar{q})\vee(p\wedge q)\vee q\wedge(\bar{p}\vee p)\equiv (p\wedge\bar{q})\vee(\bar{p}\wedge q)\vee (p\wedge q)\equiv$
$(p\wedge\bar{q})\vee(\bar{p}\wedge q)\vee (p\wedge q)\vee(p\wedge q)\equiv$
$(p\wedge\bar{q})\vee(\bar{p}\wedge q)\vee (p\wedge q)\vee(p\wedge q)\vee(\bar{p}\wedge p)\equiv$
$(p\wedge\bar{q})\vee(\bar{p}\wedge q)\vee (p\wedge q)\vee [((p\wedge q)\vee\bar{p})\wedge((p\wedge q)\vee p)]\equiv$
$(p\wedge\bar{q})\vee(\bar{p}\wedge q)\vee (p\wedge q)\vee [(\bar{p}\vee q)\wedge (\bar{q}\vee p)\wedge (p\vee q)]$
А эта штука вроде не сворачивается к $(A\triangle B)\triangle (A\cap B)$. Подскажите пожалуйста, где я ошибаюсь.

[xmaister]

Кажется разобрался
$A\cup B= (A\triangle B)\cup (A\cap B)=C\cup D=(C\triangle D)\cup (C\cap D)=$
$[(A\triangle B)\triangle (A\cap B)]\cup[(A\triangle B)\cap (A\cap B)]$
$x\in (A\triangle B)\cap (A\cap B)\equiv [(p\wedge \bar{q})\vee(\bar{p}\wedge q)]\wedge (p\wedge q)\equiv (p\vee q)\wedge (\bar{q}\wedge p)\wedge q\equiv F$
Отсюда $A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B)$
Всем спасибо за помощь!

-- 20.08.2011, 15:57 --

Подскажите, как выразить объединение через симметрическую разность и объедиение.

[Joker_vD]

xmaister в сообщении #476518 писал(а):

Подскажите, как выразить объединение через симметрическую разность и объедиение.

$A \cup B = A \cup (A \triangle B) \cup B$.

[gris]

может быть пересечение через симметрическую разность и объединение?
Симметрическая разность принадлежит объединению, а пересечение является их разностью.

[xmaister]

gris, спасибо.
$(A\cup B)\triangle (A\triangle B)$

А вот как доказать, что объединение нельзя представить ввиде пересечения и разности?

[gris]

Интуитивно: и пересечение и разность целиком содержатся в одном из множеств.

[xmaister]

А чисто формального доказательства этого факта нет?

[gris]

Можно от противного. Возьмём два множества, ни одно из которых не содержится в другом. Допустим, что существует наша формула. Возьмём множество, которое записано в нашей формуле первым (скобки не учитываем). Множество, выраженное нашей формулой, целиком содержится в этом первом множестве. Ну а объединение содержит ещё и элементы из разности второго и первого.
Я не силён в логической формализации, так что могу не увидеть очевидного простого решения.

[xmaister]

Ещё раз здравствуйте! Подскажите как доказать следующую импликацию:
$(x\in A\Rightarrow x\in B)\wedge (x\in C \Rightarrow x\in D)\Rightarrow [(A\cup C)\subset (B\cup D)$

Благодарю.

[nnosipov]

xmaister в сообщении #476605 писал(а):

Ещё раз здравствуйте! Подскажите как доказать следующую импликацию:
$(x\in A\Rightarrow x\in B)\wedge (x\in C \Rightarrow x\in D)\Rightarrow [(A\cup C)\subset (B\cup D)$

Благодарю.

Если исходить из здравого смысла, то она очевидна.

[xmaister]

nnosipov, здравый смысл это, конечно, хорошо . А можно ли её доказать чисто формально? Используя тупо логические законы и определение того, что $A$ является подмножеством $B$.