В.А. Фок против "Общего принципа относительности Эйншт

[PSP]

Котофеич , а как мне на Вашу метрику ссылаться в статье ? Метрика Котофеича? как-то неслидно звучит...

[Котофеич]

-7-
Для того чтобы записать кривую метрику общего вида, необходимо учесть связь классической дифференциальной геометрии с классическим вариационным исчислением.
I. Риманова (псевдо Риманова) геометрия.
Пусть имеется некоторая гладкая кривая \gamma(t) на римановом многообразии M^{n} размерности n :
\gamma(t):[0,1]\to M^{n}
\gamma(0)=a,\gamma(1)=b
Длина L[\gamma(t)] этой кривой задается следующим выражением:
http://eom.springer.de/r/r082150.htm
(1) L[\gamma(t)]=\int_{0}^{1}[g_{ij}(x_{1}(t),...,x_{n}(t)) (dx^{i}(t)/dt )(dx^{j}(t)/dt )]^{1/2}dt
или в эквивалентной дифференциальной форме:
(2)ds^{2}=g_{ij} (x_{1}(t),...,x_{n}(t) )dx^{i}(t)dx^{j}(t),
которую принято записывать в следующем символическом виде:
(3)ds^{2}=g_{ij}(x_{1},...,x_{n})dx^{i}dx^{j}
Расстояние R(a,b) между двумя точками a,b на римановом
многообразии M^{n}, задают как решение следующей вариационной задачи:
(4)R(a,b)= min[ L[\gamma(t)] |\gamma(0)=a,\gamma(1)=b]
Необходимое условие разрешимости вариационной задачи (5) состоит в требовании существования решения краевой задачи для системы уравнений:
(5)$\frac {d^{2}x^{i}(t)} {dt^{2}}=\Gamma^{i}_{jk}(x_{1}(t),...,x_{n}(t))\frac{dx^{j}(t)}{dt}\frac{dx^{k}(t)}{dt}, x^{i}(0)=a^{i},x^{i}(0)=b^{i}, $
Наиболее Фундаментальное Свойство Функции L[\gamma(t)]
(которое играет принципиальную роль при построении как самой римановой геометрии так
и ОТО это так называемая ее репараметризационная инвариантность) которое выражается тождеством:
(6) L[\gamma(t)]=L[\gamma(\alpha(t))],\alpha(t):[0,1]\to [0,1], ,
где \alpha(t):[0,1]\to [0,1], \alpha(0)=0,\alpha(1)=1 -гладкое взаимно однозначное отображение.
В ОТО величина L[\gamma(t)] играет роль собственного времени частицы, которая движется в гравитационном поле. Согласно Эйнштейну,время можно
измерять произвольно идущими часами, поскольку собственное время все равно не будет
зависить от скорости хода этих часов $ \frac {d\alpha(t)} {dt} $. Действительно,
при подстановке t{'}=\gamma(t) в выражение (1), производная
$ \frac {d\alpha(t)} {dt} $ не будет присутствовать в выражении для
(7) L[\gamma(t^{'})]= L[\gamma(\alpha(t))]=L[\gamma(t)].
Во времена Эйнштейна, казалось, что иначе и быть не должно, поскольку в противном
случае, само понятие "Время" потеряет свой физический смысл. ОТО это не теория общей
относительности, как назвал ее Эйнштейн, а на самом деле ОТО это теория общей физической ковариантности и понятие физического времени там имеет строго ковариантный смысл. Причина по которой Эйнштейн так поступил связана только со специфическим свойством геометрии Римана и к физической природе времени никакого
отношения иметь не может В лучшем случае это только гипотеза. Фоковская гравитация
не обладает этим свойством, поскольку метрика Фока не обладает свойством репараметризационной инвариантности что легко проверить прямым вычислением. Однако при известных условиях, энштейновский постулат выполняется с хорошей точностью
и нарушается только для очень удаленных объектов близких к горизонту или для пробных
частиц в очень сильных гравитационных полях
P.S. Попутно отмечу, что в ОТО был принят заведомо ошибочный постулат, который
перекочевал из работ основоположника во все учебники и благополучно дожил до наших дней. Этот постулат состоит в утверждении, что частица в гравитационном поле движется
по геодезической, т.е. уравнения движения совпадают с уравнением геодезической (5).A. Einstein, N.Rosen, Phys. Rev. 48, 1935
Разумеется это только приближение, которое теряет смысл для частиц или тел очень большой массы. На этот курьез физики обратили внимание только сравнительно недавно.
arXiv:gr-qc/9901064
Actually the Einstein general approach to physics has this goal:
One of the imperfections of the original relativistic theory of gravitation
was that as a field theory it was not complete: it introduced the independent
postulate that the law of motion of a particle is given by an equation of
geodesic. A complete theory knows only fields and not the concepts of particle
and motion. For these must not exist independently of the field, but are to
be treated as part of it [1].
In a footnote of the same paper, Einstein and Rosen wrote, on the stressenergy
tensor representing the source in the Einstein equations:
It was clear from the very beginning that this was only a provisory complexion
of the theory in the sense of a phenomenological interpretation.

II. Финслерова геометрия
http://eom.springer.de/F/f040390.htm
Это родная сестра римановой геометрии.
A metric generalization of Riemannian geometry, where the general definition of the length of a vector is not necessarily given in the form of the square root of a quadratic form as in the Riemannian case. Such a generalization was first developed in the paper by P. Finsler:"Ueber Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen" , Göttingen (1918) (Dissertation).
Понятие о таких пространствах впервые было введено Б. Риманом в 1854. Первое обстоятельное исследование по теории указанных пространств было опубликовано немецким математиком П. Финслером (P. Finsler) в 1918.
Пусть имеется некоторая гладкая кривая \gamma(t) на гладком многообразии M^{n} размерности n :
\gamma(t):[0,1]\to M^{n}
\gamma(0)=a,\gamma(1)=b
Финслерова длина L_{F}[\gamma(t)] этой кривой задается следующим выражением:
http://eom.springer.de/r/r082150.htm
(8) L_F}[\gamma(t)]=\int_{0}^{1}F[(x_{1}(t),...,x_{n}(t)) ;(dx^{1}(t)/dt ),...,(dx^{n}(t)/dt )]dt,где функция F(x,y) удовлетворяет следующему условию однородности
степени 1 по векторной переменной y:
(9) F(x,ky)= kF(x,y),k>0
В силу условия однородности (9) финслерова длина автоматически удовлетворяет свойству
репараметризационной инвариантности и собственное время в финслеровых теориях гравитации является инвариантом как и в ОТО.Метрику (8) можно записать в эквивалентной дифференциальной форме:
(10)ds=F[x_{1}(t),...,x(_{n}(t) ;dx^{i}(t),...,dx^{j}(t)],
которую принято записывать в следующем символическом виде:
(11)ds=F[x_{1},...,x_{n};dx^{i},...,dx^{j}]
Расстояние R_{F}(a,b) между двумя точками a,b на финслеровом многообразии M^{n}, задают как решение следующей вариационной задачи:
(12)R_{F}(a,b)= min[ L_{F}[\gamma(t)] |\gamma(0)=a,\gamma(1)=b]
Необходимое условие разрешимости вариационной задачи (5) состоит в требовании существования решения краевой задачи для соответствующей системы эйлеровских уравнений:
(13)$\frac {d^{2}x^{i}(t)} {dt^{2}}=\Gamma^{i}_{jk}(x_{1}(t),...,x_{n}(t) ; dx^{1}(t)/dt,...,dx^{n}(t)/dt )\frac{dx^{j}(t)}{dt}\frac{dx^{k}(t)}{dt}, x^{i}(0)=a^{i},x^{i}(0)=b^{i}, $
Таким образом финслерова геометрия, точно также как и риманова имее явно выраженную
вариационную природу, но связана с более широким классом вариационных задач, удовлетворяющих условию (9).

[Котофеич]

-8-
Таким образом важное свойство римановой (и финслеровой) геометрии состоит в том, что
для этих геометрий метрика может быть записана как в интегральной форме, так и в эквивалентной ей дифференциальной форме. В ОТО и ее финслеровых обобщениях, это обстоятельство играет фундаментальную роль, поскольку позволяет вычислить
собственное время частицы движущейся в гравитационном поле, не решая чрезвычайно
сложную проблему, построения геодезической системы координат. В самом деле, если мы
знаем выражение для компоненты g_{00} метрического тензора, то промежуток времени \tau между двумя событиями, произошедшими в одной и той же точке пространства, можно вычислить как интеграл:
\tau =c^{-1}\int [-g_{00}]^{1/2}dx_{0}
Это справедливо также и для других характеристик Эйнштейновской гравитации, поскольку
они являются инвариантами римановой геометрии и выражаются через метрический тензор.
На самом деле это справедливо, вообще говоря, только в том случае когда материя не оказывает сильного влияния на гравитационное поле. Если мы рассмотрим частицу очень большой массы, то ее влиянием на гравитационное поле принебречь уже нельзя и траектория
такой частицы уже не будет совпадать с геодезической в заданном гравитационном поле.
В ОТО проблему построения геодезических координат, обычно обходят достаточно простым способом, ограничиваясь классом полей обладающих достаточно высокой симметрией или
принимая другие условия, заведомо гарантирующие ее существование. В общем случае, без
решения проблемы построения геодезических координат, невозможно обойтись и в ОТО.
Однако при этом моментально возникает необходимость задания граничных условий на
бесконечности, о чем и говорил Фок. В рамках римановой геометрии, выбор таких условий
весьма проблематичен, а как правило вообще невозможен.
В тоже время если мы отказываемся от римановой геометрии, как универсального средства
описания гравитационных полей, то задача постановки естественных с физической точки зрения граничных условий, уже не вызывает каких либо принципиальных трудностей.

III. Геометрия Кавагучи.
http://eom.springer.de/K/k055120.htm
Геометрия Кавагучи является очень сильным обобщением теории финслеровых пространств.
Пусть имеется некоторая гладкая кривая \gamma(t) на гладком многообразии M^{n} размерности n :
\gamma(t):[0,1]\to M^{n}
\gamma(0)=a,\gamma(1)=b
Длина этой кривой L_{K,p}[\gamma(t)] в пространстве Кавагучи порядка p задается следующим выражением:
(14) L_K,p}[\gamma(t)]=\int_{0}^{1}F[x_{1}(t),...,x_{n}(t) ; dx^{1}(t)/dt ,...,dx^{n}(t)/dt ; d^{2}x^{1}(t)/dt^{2} ,...,d^{2}x^{n}(t)/dt^{2} ;...; d^{p}x^{1}(t)/dt^{p} ,...,d^{p}x^{n}(t)/dt^{p}]dt,
где функция F удовлетворяет некоторым специальным условиям (условия Цермело) см. формулу (2) в ссылке http://eom.springer.de/K/k055120.htm
Условия Цермело носят чисто технический характер и позволяют сохранить свойство репараметризационной инвариантности.
Расстояние R_{K,p}(a,b) между двумя точками a,b в пространстве Кавагучи M^{n}, задают как решение следующей классической вариационной задачи:
(15)R_{K,p}(a,b)= min[ L_{F}[\gamma(t)] |\gamma(0)=a,\gamma(1)=b]
Необходимое условие разрешимости вариационной задачи (5) состоит в требовании существования решения краевой задачи для соответствующей системы эйлеровских уравнений.
Метрика Кавагучи уже не может быть записана в дифференциалах. Геометрия Кавагучи,
является наиболее общей геометрией, в которой еще в какой то мере удается применить
общековариантные конструкции основанные на методах тензорного анализа.

[PSP]

Наш уважаемый Котофеич занялся очень важным и полезным делом - обзором различных геометрий с точки зрения физики .Так поддержим его и пожелаем всяческих успехов , а так же внимательно почитаем его труды!
Вот ссылки ему на расправу :
раз ,два

[Котофеич]

Не совсем так. Я о том, что кривое пространство Фока, в простейшем случае описывается метрикой следующего вида:
s(x(0),x(T))\approx \int_{0}^{T} [g_{ab}(x(t))[d{x^{a}(t)}/dt] [d{x^{a}(t)}/dt]^{1/2}(1+ l_{P}(dx_{0}(t)/dt)/R)^{-1}]dt,
$ l_{P} (d^{2}{x^{a}(t)}/dt^{2})<<1, l_{P}R/c<<1 $,
a кривое пространство Котофеича в простейшем случае описывается метрикой следующего вида:
s(x(0),x(T))\approx\int_{0}^{T} [[g_{ab}(x(t))[d{x^{a}(t)}/dt] [d{x^{a}(t)}/dt]^{1/2}[(1- l_{P}(d{x_{0}(t)}/{dt})/R]^{-1}[1-(dx_{0}(t)/dt)^{-1}]^{-1}]dt,
$ l_{P}(d^{2}{x^{a}(t)}/dt^{2})<<1, l_{P}R/c<<1$,
где интегралы беруться вдоль соответствующих геодезических.
Почему так, объясню после.

[PSP]

Котофеич писал(а):

PSP писал(а):

Наш уважаемый Котофеич занялся очень важным и полезным делом - обзором различных геометрий с точки зрения физики .Так поддержим его и пожелаем всяческих успехов , а так же внимательно почитаем его труды!

Не совсем так. Я о том, что кривое пространство Фока описывается метрикой вида

s(x(t))=\Int_{0}^{1} [[x_{a}(t)}{x^{a}(t)]^{1/2)/(1+(c {{x_{0}(t)})/R)]dt

Нет ли тут опечатки ? Как -то странно выглядит...

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

соответствующее пространство является плоским анизотропным пространством

оно пространственно изотропно...

Да, пространственная часть осталась изотропной. А вот время уже сильно не изотропно,
когда ct приближается к R. Это приводит к необычным для классической релятивистской теории свойствам лагранжиана свободной частицы.

Добавлено спустя 5 минут 43 секунды:

-9-
IV.Cовременная вариационная геометрия
В классической дифференциальной геометрии, как можно видеть из предыдущего обзора, расстояние между двумя точками, всегда определено, как решение некоторой классической задачи вариационного исчисления. Со времен Римана в геометрии принято было выделять
именно метрический аспект. Вариационный аспект в классической геометрии играл важную
роль только в теории геодезических и связанных с ней проблемах. В современной вариационной геометри во главу угла рассмотрения, ставится именно вариационная, а не
метрическая сторона геометрии, которая играет важную но второстепенную роль.
Различные неклассические геометрии, могут быть получены, если при определении длины
кривой используется какая либо задача неклассического вариационного исчисления, например оптимального управления.
Более узкий класс вариационных геометрий, играющих важную роль в обобщении ОТО, получается в случае когда отброшено условие репараметризационной инвариантности.


Анизотропные нефинслеровы геометрии и Обобщенная геометрия Кавагучи.

Пусть имеется некоторая гладкая кривая \gamma(t) на гладком многообразии M^{n} размерности n :
\gamma(t):[0,1]\to M^{n}
\gamma(0)=a,\gamma(1)=b
Длина этой кривой L_{K,p}[\gamma(t)] в пространстве Кавагучи порядка p задается следующим выражением:
(16) L_K,p}[\gamma(t)]=\int_{0}^{1}F[x_{1}(t),...,x_{n}(t) ; dx^{1}(t)/dt ,...,dx^{n}(t)/dt ; d^{2}x^{1}(t)/dt^{2} ,...,d^{2}x^{n}(t)/dt^{2} ;...; d^{p}x^{1}(t)/dt^{p} ,...,d^{p}x^{n}(t)/dt^{p}]dt,
где функция F больше не удовлетворяет специальным условиям (условия Цермело) см. формулу (2) в ссылке http://eom.springer.de/K/k055120.htm
Расстояние R_{K,p}(a,b) между двумя точками a,b в обобщенном пространстве Кавагучи порядка p, которое обозначается GM_{p}^{n}, задают как решение следующей классической вариационной задачи:
(17)R_{K,p}(a,b)= min[ L_{K,p}[\gamma(t)] |\gamma(0)=a,\gamma(1)=b]
Необходимое условие разрешимости вариационной задачи (17) состоит в требовании существования решения краевой задачи для соответствующей системы эйлеровских уравнений.
Оказывается, что геометрия любого плоского анизотропного пространства AM^{n}, в том числе и фоковского, аппроксимируется бесконечной последовательностью обобщенных пространств Кавагучи: GM_{p}^{n},p=1,2,....
Обобщенное пространство Кавагучи первого порядка: GM_{p}^{n},p=1,
называется анизотропным нефинслеровым пространством или кратко пространством Котофеича. Построим теперь пространство Котофеича, соответствующее плоской анизотропной метрике Фока:
\Delta{s_F}^{2}(t)=(\Delta{x_{a}(t)}\Delta{x^{a}(t)})/(1+(c {\Delta{x_{0}(t)})/R)^{2}=inv
После элементарных преобразований получим
1.\Delta {s(t)}= \Delta{t} [[ \Delta {x_{a}(t)}/\Delta{t} ] [ \Delta {x^{a}(t)}/\Delta{t}]^{1/2}/(1+ c( \Delta x_{0}(t))/R)^{-1}], где
2.\Delta {x_{a}(t)}=x_{a}(t+\Delta{t})}-x_{a}(t)}= [dx_{a}(t)/dt]\Delta{t} +O[ (\Delta{t} ) ^{2}] Подставив (2) в (1) получаем
3.\Delta {s(t)}= \Delta{t} [[d{x_{a}(t)}/dt ] [d {x^{a}(t)}/dt]^{1/2}/(1+ c(\Delta{t}( d x_{0}(t)/dt)/R)^{-1}]+O[(\Delta{t}])
Применяя оператор суммирования к (3), получим равенство
4. \Sigma_{i=1}^{n} \Delta {s(t_{i})}= \Delta{t}\Sigma_{i=1}^{n} [[d{x_{a}(t_{i})}/dt_{i} ] [d {x^{a}(t_{i})}/dt_{i}]^{1/2}(1+ c(\Delta{t}( d x_{0}(t_{i})/dt_{i})/R)^{-1}]+O[(\Delta{t}], где \Delta{t}=T/n,t_{i}=Ti/n.
5. В качестве величины \Delta{t}, выберем некий условный микролокальный
масштаб времени, положив например для определенности \Delta{t}=\tau_{p}.
Тогда в силу (4) мы имеем
6.s(x(0),x(T))= \int_{0}^{T} [g_{ab}(x(t))[d{x^{a}(t)}/dt] [d{x^{a}(t)}/dt]^{1/2}(1+ l_{P} (dx_{0}(t)/dt)/R)^{-1}]dt+O[(l_P].

Окончательно перепишем метрику в виде
7.s(x(0),x(T))= \int_{0}^{T} [g_{ab}(x(t))[d{x^{a}(t)}/dt] [d{x^{a}(t)}/dt]^{1/2}(1+ \kappa (dx_{0}(t)/dt))^{-1}]dt+O[(l_P],
\kappa =l_{P}/R <<<1 - постоянная Котофеича- Фока.
Для Лагранжиана свободной частицы, в первом приближении имеем следующее выражение
(18)L(t)= -mc[g_{ab}(x(t))[d{x^{a}(t)}/dt] [d{x^{a}(t)}/dt]^{1/2}(1+ \kappa (dx_{0}(t)/dt))^{-1}]+O[(l_P].

[PSP]

Как я понимаю , наш уважаемый Котофеич работает в области космологии и предлагает новую метрику . Это прекрасно . Вот только мне представляется , что любая макроскопическая метрика должна быть , скажем так , некоторой интегральной , статистически средней от некоторой метрики микромира . Может , я ошибаюсь ? Если нет , то тогда какая микроскопическая метрика кроется за метрикой Котофеича ? И какой лагранжиан она порождает ? Или здесь эти вопросы неуместны , т.е. в космологии ?

[Котофеич]

Ничего кроме метрики Фока, я не использую. К черту микромир. Космология опирается
только на хорошо проверенные данные внегалактической астрономии. Все что основано на
фантазиях о свойствах микромира, это уже не космология. Я же ранее указал, что
Я подсчитал, что мир - кольцо,
И наша Вселенная конечна.

[PSP]

Котофеич писал(а):

Космология опирается
только на хорошо проверенные данные внегалактической астрономии.

А Вы на какие данные опираетесь ? Можете перечислить ?
И кстати , как Вы оцениваете работу Манида ?

[Котофеич]

Космология не на какие данные не опирается. Она должна объяснять эти данные, а
не опираться. Фридмановская космология ничего не объясняет, потому что противоречива
изначально, а с помощью противоречивой теории можно все объяснить но это не интесно.

[PSP]

Котофеич писал(а):

:evil: Космология не на какие данные не опирается. Она должна объяснять эти данные, а
не опираться. Фридмановская космология ничего не объясняет, потому что противоречива
изначально, а с помощью противоречивой теории можно все объяснить но это не интесно.

Пусть так. И какой круг явлений , какой перечень данных обьясняет Ваша космология с Вашей метрикой?

[Котофеич]

Ну например проблему конца света. До конца света вовсе не сотни миллиардов лет,
а 2-3 от силы. Ну в общем Фридман с Леметром Вас всех надули. Так что спешите, времени осталось не так много

[PSP]

Котофеич писал(а):

:evil: Ну например проблему конца света. До конца света вовсе не сотни миллиардов лет,
а 2-3 от силы. Ну в общем Фридман с Леметром Вас всех надули. Так что спешите, времени осталось не так много

Что -то маловато явлений...Ну хоть путь спасения человечества от конца света Вы предлагаете?! ( А то я в ужасе..Хочу спастись !!!!!!!!!!!!!!!!)

[Котофеич]

Не волнуйтесь. Вы 2 миллиарда лет все равно не проживете. Потом явлений не маловато. Лучше хотя бы одно явление объяснить правильно, чем абсолютно все неправильно