Жёсткие конструкции.

[Батороев]

venco в сообщении #474330 писал(а):

В каждом шестиугольнике 12 рёбер.

12 - перебор. Достаточно 11.

-- 11 авг 2011 10:26 --

Circiter в сообщении #474766 писал(а):

$\begin{tikzpicture} \coordinate(A1)at(-1,1); \coordinate(A2)at(1,1); \coordinate(A3)at(1,-1); \coordinate(A4)at(-1,-1); \coordinate(B1)at(-0.6,0.6); \coordinate(B2)at(0.6,0.6); \coordinate(B3)at(0.6,-0.6); \coordinate(B4)at(-0.6,-0.6); \color{green!40!black} \draw(A1)--(A2)--(A3)--(A4)--cycle; \draw(B1)--(B2)--(B3)--(B4)--cycle; \draw[dashed,red](B1)--(B3); \draw(A1)node[blue]{$\bullet$}--(B1)node[blue]{$\bullet$}; \draw(A2)node[blue]{$\bullet$}--(B2)node[blue]{$\bullet$}; \draw(A3)node[blue]{$\bullet$}--(B3)node[blue]{$\bullet$}; \draw (A4)node[blue]{$\bullet$}--(B4)node[blue]{$\bullet$}; \draw[->,ultra thick,red](1.2,0)--(2,-0.3); \draw[->,ultra thick,red](0,-1.2)--(-0.2,-2); \end{tikzpicture}\begin{tikzpicture}[xslant=-0.5] \coordinate(A1)at(-1,1); \coordinate(A2)at(1,1); \coordinate(A3)at(1,-1); \coordinate(A4)at(-1,-1); \coordinate(B1)at(-0.6,0.6); \coordinate(B2)at(0.6,0.6); \coordinate(B3)at(0.6,-0.6); \coordinate(B4)at(-0.6,-0.6); \color{green!40!black} \draw(A1)--(A2)--(A3)--(A4)--cycle; \draw(B1)--(B2)--(B3)--(B4)--cycle; \draw(A1)node[blue]{$\bullet$}--(B1)node[blue]{$\bullet$}; \draw(A2)node[blue]{$\bullet$}--(B2)node[blue]{$\bullet$}; \draw(A3)node[blue]{$\bullet$}--(B3)node[blue]{$\bullet$}; \draw (A4)node[blue]{$\bullet$}--(B4)node[blue]{$\bullet$}; \end{tikzpicture}\\\begin{tikzpicture} \coordinate(A1)at(-1,1); \coordinate(A2)at(1,1); \coordinate(A3)at(1,-1); \coordinate(A4)at(-1,-1); \coordinate(B1)at(-0.8,0.4); \coordinate(B2)at(0.4,0.8); \coordinate(B3)at(0.8,-0.4); \coordinate(B4)at(-0.4,-0.8); \color{green!40!black} \draw(A1)--(A2)--(A3)--(A4)--cycle; \draw(B1)--(B2)--(B3)--(B4)--cycle; \draw[orange](A1)node[blue]{$\bullet$}--(B1)node[blue]{$\bullet$}; \draw[orange](A2)node[blue]{$\bullet$}--(B2)node[blue]{$\bullet$}; \draw[orange](A3)node[blue]{$\bullet$}--(B3)node[blue]{$\bullet$}; \draw[orange](A4)node[blue]{$\bullet$}--(B4)node[blue]{$\bullet$}; \end{tikzpicture}$

Зеленых стержней 12, узлов - 8.
$2\cdot 8-3\ne 12$, следовательно, конструкция не жесткая.
Пример: Приняв за центр вершины наружного квадрата, провести 4 окружности радиуса, равного длине коротких стержней. Наложить малый квадрат так, чтобы его вершины лежали на окружностях. Количество возможностей такого наложения больше 1 (до положения оранжевых стержней не дотягивает, но...).

[Circiter]

2Батороев

Цитата:

$2\cdot 8-3\ne 12$, следовательно, конструкция не жесткая.

Дык, вроде-бы выяснилось, что та формула -- необходимое условие. Т.е. мы можем сказать: эта ферма на $n$ шарнирах жесткая, следовательно стержней в ней не меньше $2n-3$. А сказать, что стержней $2n-3$, следовательно ферма жесткая -- уже нельзя. Хотя с проворотом внутреннего контура интригу вы внесли... :) Но, кажется, такое движение будет растягивать стержни внутреннего квадрата, что недопустимо; да даже с точки зрения той формулы -- добавив помеченный пунктиром стержень мы удовлетворим условию $2n-3$, но повороту, если бы он даже и был бы возможен, это все-равно не помеха...

[Sirion]

Circiter в сообщении #474807 писал(а):

2Батороев

Цитата:

$2\cdot 8-3\ne 12$, следовательно, конструкция не жесткая.

Дык, вроде-бы выяснилось, что та формула -- необходимое условие. Т.е. мы можем сказать: эта ферма на $n$ шарнирах жесткая, следовательно стержней в ней не меньше $2n-3$. А сказать, что стержней $2n-3$, следовательно ферма жесткая -- уже нельзя. Хотя с проворотом внутреннего контура интригу вы внесли... :) Но, кажется, такое движение будет растягивать стержни внутреннего квадрата, что недопустимо; да даже с точки зрения той формулы -- добавив помеченный пунктиром стержень мы удовлетворим условию $2n-3$, но повороту, если бы он даже и был бы возможен, это все-равно не помеха...

А никто не говорил, что это будет просто поворот. Это будет поворот с одновременной деформацией внутреннего и внешнего контура, а может быть (ну нельзя ведь так просто исключить) - и со смещением центра внутреннего контура относительно центра внешнего.

[Батороев]

Circiter в сообщении #474807 писал(а):

2Батороев

Цитата:

$2\cdot 8-3\ne 12$, следовательно, конструкция не жесткая.

Дык, вроде-бы выяснилось, что та формула -- необходимое условие. Т.е. мы можем сказать: эта ферма на $n$ шарнирах жесткая, следовательно стержней в ней не меньше $2n-3$. А сказать, что стержней $2n-3$, следовательно ферма жесткая -- уже нельзя. Хотя с проворотом внутреннего контура интригу вы внесли... :) Но, кажется, такое движение будет растягивать стержни внутреннего квадрата, что недопустимо; да даже с точки зрения той формулы -- добавив помеченный пунктиром стержень мы удовлетворим условию $2n-3$, но повороту, если бы он даже и был бы возможен, это все-равно не помеха...

Та формула - для расчета числа степеней свободы (для шарниров) плоских механизмов и конструкций. Если число степеней свободы равна нулю, то конструкция жесткая. Если не равно нулю, ищите причину в своей конструкции.
Я предложил алгоритм трансформации рисунка, при котором не происходит деформации ни внешнего квадрата, ни внутреннего, ни коротких стержней. И это всего лишь один вариант из многих. Например, наложите на окружности ромб со сторонами, равными сторонам внутреннего квадрата.

-- 11 авг 2011 11:39 --

Добавив помеченный пунктиром стержень, Вы как раз-то получите жесткую конструкцию.

[Circiter]

2Батороев
Что-то я совсем запутался. :) Вот смотрите, я попробовал сделать рисунок поточнее; а именно, повернул вершины внутреннего квадрата, каждую на небольшой угол относительно ближайшей вершины внешнего квадрата, как вы и говорили:
$ \begin{tikzpicture}[scale=1.4] \color{gray!50!white} \draw[ultrathin,step=0.25cm](-1.2,-1.2)grid(1.2,1.2); \draw[->,thick](-1.5,0)--(1.5,0); \draw[->,thick](0,-1.5)--(0,1.5); \draw(0,0)node[shift={(5pt,-6pt)}]{0}; \filldraw[fill=green!20!white,draw=green!50!black](-1,1)--(-0.6,1)arc(0:-90:0.4)--cycle; \begin{scope}[shift={(-1,1)}]\draw(0,0)node(e){};\draw(-60:0.4)node(a){};\draw(-45:0.4)node(i){};\end{scope} \color{gray} \begin{scope}[shift={(1,1)}]\draw(-75:0.4)arc(-75:-195:0.4);\draw(0,0)node(f){};\draw(-90-60:0.4)node(b){};\draw(-135:0.4)node(j){};\end{scope} \begin{scope}[shift={(1,-1)}]\draw(75:0.4)arc(75:195:0.4);\draw(0,0)node(g){};\draw(180-60:0.4)node(c){};\draw(135:0.4)node(k){};\end{scope} \begin{scope}[shift={(-1,-1)}]\draw(-15:0.4)arc(-15:105:0.4);\draw(0,0)node(h){};\draw(90-60:0.4)node(d){};\draw(45:0.4)node(l){};\end{scope} \draw[gray,thick](i.center)--(j.center)--(k.center)--(l.center)--(i.center); \draw[green!40!black](a.center)--(b.center)--(c.center)--(d.center)--(a.center)(e.center)--(f.center)--(g.center)--(h.center)--(e.center); \draw[orange](a.center)--(e.center)(b.center)--(f.center)(c.center)--(g.center)(d.center)--(h.center); \fill[blue](a)circle(2pt)(b)circle(2pt)(c)circle(2pt)(d)circle(2pt)(e)circle(2pt)(f)circle(2pt)(g)circle(2pt)(h)circle(2pt); \fill[red](i)circle(1pt)(j)circle(1pt)(k)circle(1pt)(l)circle(1pt); \end{tikzpicture} $

Здесь красные вершины -- старые, синие -- новые, повернутые. Проблема в том, что внутренний контур на синих вершинах больше чем исходный квадрат на красных вершинах. В-принципе, это не так уж и очевидно, так что надо будет посчитать.

Кажется, все трапеции, образованные внутренними, внешними и оранжевыми стержнями должны деформироваться одинаково. Рассмотрим одну из этих трапеций:

$ \begin{tikzpicture} \begin{scope}[shift={(-2,0)}]\draw(45-30:0.8)arc(45-30:45:0.8);\draw(30:1)node{$\alpha$};\draw(45:1.5)node(a){};\draw(45-30:1.5)node(c){};\end{scope} \begin{scope}[shift={(2,0)}]\draw(135-30:0.8)arc(135-30:135:0.8);\draw(135:1.5)node(b){};\draw(135-30:1.5)node(d){};\end{scope} \draw(-2,0)node[below left]{$A$}--(2,0)node[below right]{$B$}--(b.center)node[below left]{$C$}node[pos=0.7,sloped]{|}--(a.center)node[above right]{$D$}--(-2,0)node[pos=0.2,sloped]{|}; \draw[dashed](-2,0)--(c.center)node[right=3.5pt]{$E$}node[pos=0.8,sloped]{|}(2,0)--(d.center)node[above right]{$F$}node[pos=0.7,sloped]{|}; \draw[dashed,thick](c.center)--(d.center); \fill(c.center)circle(1.5pt)(d.center)circle(1.5pt); \end{tikzpicture} $

Стороны $AD$ и $BC$ изометрично переходят в $AE$ и $BF$ поворотом на угол $\alpha$. Спрашивается, существует ли такой $\alpha\neq 0$, что $EF=DC$?

Ни про ромб, ни про идею Sirion'а, я, к сожалению, ничего не понял...

[Батороев]

Circiter в сообщении #474843 писал(а):

Проблема в том, что внутренний контур на синих вершинах больше чем исходный квадрат на красных вершинах. В-принципе, это не так уж и очевидно, так что надо будет посчитать.

Здесь Вы правы. Это я задал неправильное направление трансформации, т.е. априори придал наружному квадрату жесткость, чего делать было нельзя.
Вместе с тем, данная фигура все равно не обладает жесткостью. Т.к. степень свободы по рассмотренной выше формуле равна 1, то по-видимому, жестко привязав одно из звеньев к неподвижной плоскости, мы получим перемещения других звеньев, но несимметричные друг другу.
И вообще, не благодарное это дело - перепроверять формулу, проверенную десятилетиями и выведенную, как мне кажется, тоже кем-то из математиков.

-- 11 авг 2011 16:21 --

Более подробно данные вопросы освещаются в учебниках по теории механизмов и машин (шарнир относится к одноподвижным кинематическим парам), в которых формула для пространственных механизмов кстати имеет другой вид.

[Sirion]

Circiter, просто соберите модель и посмотрите, как она себя будет вести. Это будет нагляднее, нежели любые мои пояснения.

[venco]

Sirion в сообщении #474853 писал(а):

Circiter, просто соберите модель и посмотрите, как она себя будет вести. Это будет нагляднее, нежели любые мои пояснения.

А вы что, уже научились делать идеально жёсткие рёбра?

-- Чт авг 11, 2011 13:08:32 --

Батороев в сообщении #474848 писал(а):

И вообще, не благодарное это дело - перепроверять формулу, проверенную десятилетиями и выведенную, как мне кажется, тоже кем-то из математиков.

Почему неблагодарное? Такой проверкой можно уточнить условия применимости формулы. Я уверен, что в правильной формулировке теоремы есть уточнения, про которые забыли при цитировании здесь. В приведённом варианте она просто неверна.

[Sirion]

venco в сообщении #474916 писал(а):

Sirion в сообщении #474853 писал(а):

Circiter, просто соберите модель и посмотрите, как она себя будет вести. Это будет нагляднее, нежели любые мои пояснения.

А вы что, уже научились делать идеально жёсткие рёбра?

По крайней мере, станет видно, как ведёт себя эта конструкция при изгибе в предположении, что изгиб возможен.

[Батороев]

venco в сообщении #474916 писал(а):

Такой проверкой можно уточнить условия применимости формулы. Я уверен, что в правильной формулировке теоремы есть уточнения, про которые забыли при цитировании здесь. В приведённом варианте она просто неверна.

Естественно, условия применимости есть. В учебниках по ТММ этому посвящены несколько параграфов
http://reslib.com/book/Teoriya_mehanizmov_i_mashin__Artobolevskij_I_I__ (стр. 37...46)
В частности, в Вашем примере с шестиугольниками в каждом из них есть по одному лишнему звену, отчего формула и не выполняется.

-- 12 авг 2011 09:06 --

Батороев в сообщении #474848 писал(а):

формулу, проверенную десятилетиями и выведенную, как мне кажется, тоже кем-то из математиков.

Формула для плоских механизмов носит имя П. Л. Чебышева (стр. 40).

[Padawan]

Вот пара жёстких конструкций


А обсуждаемый квадрат в квадрате не жёсткий -- имеет одну степень свободы. Попробуйте постепенно по одному ребру добавлять и представлять, как он будет двигаться.

-- Пт авг 12, 2011 10:00:10 --

Так что ответ на первые два пункта положительный.

[Circiter]

2Padawan
К сожалению, ваших изображений мне не видно... Только лягушек могу наблюдать... :) Там что-то пишется о необходимости регистрации домена на http://bit.ly/imageshack-domain/...

Цитата:

Так что ответ на первые два пункта положительный.

Т.е. на приведенных вами картинках изображены жесткие фермы без 3-циклов и без 2-сочленений, но при этом не вовсем плоские, т.е. с самопересечениями? Извините, приходится догадываться, рисунков-то мне не показывають. :)

2Sirion

Цитата:

как ведёт себя эта конструкция при изгибе в предположении, что изгиб возможен

Изгибы мы вообще не рассматриваем, т.е. стержни остаются именно отрезками постоянной длины. Произвольно меняются только углы. У ТС немного неудачная терминология.

P.S.: Надо было тему как опрос-голосование оформлять, а-то мнения разделились поровну... :)

[ИСН]

Circiter в сообщении #475028 писал(а):

Т.е. на приведенных вами картинках изображены жесткие фермы без 3-циклов и без 2-сочленений, но при этом не вовсем плоские, т.е. с самопересечениями?

Одна именно такая, а другая с 2-сочленениями.

[venco]

Padawan в сообщении #474964 писал(а):

А обсуждаемый квадрат в квадрате не жёсткий -- имеет одну степень свободы.

Какую именно?
Просто дайте координаты вершин в ещё одном положении с теми же длинами рёбер.

[Батороев]

Padawan в сообщении #474964 писал(а):

Здесь нецентральные шарниры в диагонали не выполняют никаких поворотных функций и их можно убрать вместе с примыкающими к ним стержнями, но добавив один стержень в полудиагональ.