Колич. способов представл. числа в виде суммы двух квадратов

[икс и грек]

Нам дано натуральное число n. Как узнать, сколькими способами оно представляется в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

[Brukvalub]

икс и грек писал(а):

Нам дано натуральное число n. Как узнать, сколькими способами оно представляется в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, т.е. n^2=x^2+y^2?

Уточните вопрос: сначала Вы спрашиваете

Цитата:

сколькими способами оно представляется в виде суммы квадратов двух натуральных чисел

, а затем пишете формулу для квадрата числа:n^2=x^2+y^2. А это два совершенно разных вопроса с разными ответами на них.

[икс и грек]

Исправил.

[Brukvalub]

Тогда можно попробовать, например, прямой перебор-современные компьютеры делают это быстро.

[juna]

Обычно вопрос ставят для целых чисел и интересуются представлением $n=x^2+y^2$.
Тогда, если через $d_1$ обозначить число положительных делителей $n$ вида $4k+1$, и через $d_2$ - число положительных делителей $n$ вида $4l+3$, то число представлений $n$ в виде суммы двух квадратов: $4\cdot d_1-4\cdot d_2$

[икс и грек]

Компьютер использовать нельзя:) Хотелось бы математического решения.

Добавлено спустя 13 минут 11 секунд:

Цитата:

Тогда, если через $d_1$ обозначить число положительных делителей $n$, для которых $d_1\equiv1\mod 4$

Не понял, разве количество положительных делителей числа не есть конкретное число? Вы имели в виду, что сами делители имеют вид 4k+1?

[juna]

Да это самое и имел ввиду, не проснулся еще...

[Brukvalub]

Ответ на Ваш вопрос содержится, например, здесь: http://www.topreferats.ru/matemat/9158.html , только не знаю, покажется ли он Вам эффективным. Во всяком случае, точной формулы для числа таких представлений он не дает, и про такую формулу я не слышал, но асимптотика числа представлений была получена, я встречал асимптотические формулы.

[juna]

Brukvalub, я дал точную формулу, и вопрос этот исследован и для суммы четырех квадратов - Якоби, Рамануджан и т.д.

[Brukvalub]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Brukvalub, я дал точную формулу, и вопрос этот исследован и для суммы четырех квадратов - Якоби, Рамануджан и т.д.

Согласен, Вы указали точное решение вопроса для каждого конкретного целого числа , я же вел речь о замкнутой формуле S(n), которая выдает число представлений просто при подстановке в нее исходного числа. Мне такая формула неизвестна, если Вы ее знаете, просьба разместить ее здесь.

[икс и грек]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Обычно вопрос ставят для целых чисел и интересуются представлением $n=x^2+y^2$.
Тогда, если через $d_1$ обозначить число положительных делителей $n$ вида $4k+1$, и через $d_2$ - число положительных делителей $n$ вида $4l+3$, то число представлений $n$ в виде суммы двух квадратов: $4\cdot d_1-4\cdot d_2$

Здесь k,l - натуральные числа?

[Brukvalub]

K- натуральное, l - натуральное, или нуль.

[Gordmit]

Brukvalub писал(а):

Ответ на Ваш вопрос содержится, например, здесь: http://www.topreferats.ru/matemat/9158.html , только не знаю, покажется ли он Вам эффективным. Во всяком случае, точной формулы для числа таких представлений он не дает, и про такую формулу я не слышал, но асимптотика числа представлений была получена, я встречал асимптотические формулы.

1. Посмотрел указанный реферат, но он что-то написан весьма странно, многих формул нет (хотя по смыслу должны быть), и даже после попыток дописать формулы по смыслу стало ненамного понятнее... Есть ли этот текст в нормальном виде?

2. Насчет асимптотики числа представлений: где можно посмотреть такие асимптотические формулы? Нет ли возможности привести их здесь?

Добавлено спустя 4 минуты 24 секунды:

Еще интересует вопрос о расстояниях между соседними числами, представимыми суммами квадратов: кто-нибудь встречал их нетривиальные оценки?

Тривиальная оценка: $d_n \leqslant 2\sqrt{2}\sqrt[4]{n}+1$. Есть ли оценки лучше?

[juna]

Расстояние между соседними членами http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 92a#718224 - мало от Вашей отличается.

[Gordmit]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Расстояние между соседними членами http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 92a#718224 - мало от Вашей отличается.

Да, там как раз есть вывод этой тривиальной оценки. Т.е. фактически, это ее вариант. Может у участников форума есть мысли, как оценку улучшить?