2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Колич. способов представл. числа в виде суммы двух квадратов
Сообщение01.01.2007, 10:37 
Нам дано натуральное число n. Как узнать, сколькими способами оно представляется в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

 
 
 
 Re: Сумма квадратов
Сообщение01.01.2007, 11:02 
Аватара пользователя
икс и грек писал(а):
Нам дано натуральное число n. Как узнать, сколькими способами оно представляется в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, т.е. n^2=x^2+y^2?

Уточните вопрос: сначала Вы спрашиваете
Цитата:
сколькими способами оно представляется в виде суммы квадратов двух натуральных чисел
, а затем пишете формулу для квадрата числа:n^2=x^2+y^2. А это два совершенно разных вопроса с разными ответами на них.

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 11:08 
Исправил.

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 11:15 
Аватара пользователя
Тогда можно попробовать, например, прямой перебор-современные компьютеры делают это быстро.

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 11:16 
Аватара пользователя
Обычно вопрос ставят для целых чисел и интересуются представлением $n=x^2+y^2$.
Тогда, если через $d_1$ обозначить число положительных делителей $n$ вида $4k+1$, и через $d_2$ - число положительных делителей $n$ вида $4l+3$, то число представлений $n$ в виде суммы двух квадратов: $4\cdot d_1-4\cdot d_2$

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 11:30 
Компьютер использовать нельзя:) Хотелось бы математического решения.

Добавлено спустя 13 минут 11 секунд:

Цитата:
Тогда, если через $d_1$ обозначить число положительных делителей $n$, для которых $d_1\equiv1\mod 4$

Не понял, разве количество положительных делителей числа не есть конкретное число? Вы имели в виду, что сами делители имеют вид 4k+1?

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 11:44 
Аватара пользователя
Да это самое и имел ввиду, не проснулся еще...

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 11:44 
Аватара пользователя
Ответ на Ваш вопрос содержится, например, здесь: http://www.topreferats.ru/matemat/9158.html , только не знаю, покажется ли он Вам эффективным. Во всяком случае, точной формулы для числа таких представлений он не дает, и про такую формулу я не слышал, но асимптотика числа представлений была получена, я встречал асимптотические формулы.

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 11:54 
Аватара пользователя
Brukvalub, я дал точную формулу, и вопрос этот исследован и для суммы четырех квадратов - Якоби, Рамануджан и т.д.

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 12:04 
Аватара пользователя
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Brukvalub, я дал точную формулу, и вопрос этот исследован и для суммы четырех квадратов - Якоби, Рамануджан и т.д.

Согласен, Вы указали точное решение вопроса для каждого конкретного целого числа , я же вел речь о замкнутой формуле S(n), которая выдает число представлений просто при подстановке в нее исходного числа. Мне такая формула неизвестна, если Вы ее знаете, просьба разместить ее здесь.

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 20:59 
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Обычно вопрос ставят для целых чисел и интересуются представлением $n=x^2+y^2$.
Тогда, если через $d_1$ обозначить число положительных делителей $n$ вида $4k+1$, и через $d_2$ - число положительных делителей $n$ вида $4l+3$, то число представлений $n$ в виде суммы двух квадратов: $4\cdot d_1-4\cdot d_2$

Здесь k,l - натуральные числа?

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 21:39 
Аватара пользователя
K- натуральное, l - натуральное, или нуль.

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 21:43 
Brukvalub писал(а):
Ответ на Ваш вопрос содержится, например, здесь: http://www.topreferats.ru/matemat/9158.html , только не знаю, покажется ли он Вам эффективным. Во всяком случае, точной формулы для числа таких представлений он не дает, и про такую формулу я не слышал, но асимптотика числа представлений была получена, я встречал асимптотические формулы.
1. Посмотрел указанный реферат, но он что-то написан весьма странно, многих формул нет (хотя по смыслу должны быть), и даже после попыток дописать формулы по смыслу стало ненамного понятнее... Есть ли этот текст в нормальном виде?

2. Насчет асимптотики числа представлений: где можно посмотреть такие асимптотические формулы? Нет ли возможности привести их здесь?

Добавлено спустя 4 минуты 24 секунды:

Еще интересует вопрос о расстояниях между соседними числами, представимыми суммами квадратов: кто-нибудь встречал их нетривиальные оценки?

Тривиальная оценка: $d_n \leqslant 2\sqrt{2}\sqrt[4]{n}+1$. Есть ли оценки лучше?

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 22:04 
Аватара пользователя
Расстояние между соседними членами http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 92a#718224 - мало от Вашей отличается.

 
 
 
 
Сообщение01.01.2007, 22:18 
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Расстояние между соседними членами http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 92a#718224 - мало от Вашей отличается.
Да, там как раз есть вывод этой тривиальной оценки. Т.е. фактически, это ее вариант. Может у участников форума есть мысли, как оценку улучшить?

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group