Жёсткие конструкции.

[venco]

venco в сообщении #474233 писал(а):

Circiter в сообщении #474225 писал(а):

Возможно бред скажу. Вроде-бы, в теории ферм доказывается, что конструкция из стержней и $n$ штук шарниров-узлов будет жесткой, если стержней будет не менее $2n-3$ штук.

Похоже на простое вычисление степеней свободы, причём в двумерном случае.

Да к тому же неверное вычисление.
Возьмите два шестиугольника составленных из треугольников, чтобы одна вершина у них была общей. Вершин - 13, рёбер - 24. Условию удовлетворяет, но конструкция не жёсткая. Похоже, вышеприведённое условие не достаточное, а необходимое.

-- Пн авг 08, 2011 16:19:19 --

Circiter в сообщении #474325 писал(а):

Кстати, собрал скелет уложенного на плоскость куба из двенадцате обрезков толстой медной проволоки (изготовив петли на концах отрезков -- для сочленений). Ничего похожего на жесткость не наблюдается, т.е. такая конструкция не моделирует твердое тело.

Жёсткость такой конструкции на проволочках не проверить, т.к. в ней используется квадратичный минимум функции. Т.е. точное равенство рёбер невозможно при любом изгибе, но на практике вы не заметите, что рёбра изменились.

-- Пн авг 08, 2011 16:24:26 --

venco в сообщении #474326 писал(а):

venco в сообщении #474233 писал(а):

Circiter в сообщении #474225 писал(а):

Возможно бред скажу. Вроде-бы, в теории ферм доказывается, что конструкция из стержней и $n$ штук шарниров-узлов будет жесткой, если стержней будет не менее $2n-3$ штук.

Похоже на простое вычисление степеней свободы, причём в двумерном случае.

Да к тому же неверное вычисление.
Возьмите два шестиугольника составленных из треугольников, чтобы одна вершина у них была общей. Вершин - 13, рёбер - 24. Условию удовлетворяет, но конструкция не жёсткая. Похоже, вышеприведённое условие не достаточное, а необходимое.

А с учётом "квадрата в квадрате" условие вообще неверное.
...
Хотя с практической точки зрения, ферма из "квадрата в квадрате" - нежёсткая.

[Circiter]

2venco

Цитата:

Да к тому же неверное вычисление.

Это не мои выдумки. Я просто списал формулу из книжки Н.Н.Бухгольц, Основной курс теоретической механики, ч.I.

Цитата:

Вершин - 13, рёбер - 24

Я только 21 ребро насчитал, а по формуле должно быть $2\cdot 13-3=23$, т.е. не хватает двух ребер для жесткости.

Цитата:

Жёсткость такой конструкции на проволочках не проверить

Как же так? Я бросаю поделку на стол -- опа, сложилась, значит -- нежесткая. Добавил ещё одну проволочку, бросил на стол -- опа, не сложилась, сохранила форму, значит -- жесткая.

Цитата:

А с учётом "квадрата в квадрате" условие вообще неверное.

Подождите, какое условие? Почему неверное? Восемь сочленений, двенадцать ребер, а по формуле должно быть $2\cdot 8-3=13$ ребер, одного не хватает, нарушается жесткость.

Цитата:

Хотя с практической точки зрения, ферма из "квадрата в квадрате" - нежёсткая.

Но вы, хотя-бы, признаете, что квадрат с диагональной подпоркой (а лучше с двумя) -- жесткий, ну, с практической точки зрения?

[venco]

Circiter в сообщении #474327 писал(а):

2venco

Цитата:

Да к тому же неверное вычисление.

Это не мои выдумки. Я просто списал формулу из книжки Н.Н.Бухгольц, Основной курс теоретической механики, ч.I.

Цитата:

Вершин - 13, рёбер - 24

Я только 21 ребро насчитал.

В каждом шестиугольнике 12 рёбер.

Цитата:

Цитата:

Жёсткость такой конструкции на проволочках не проверить

Как же так? Я бросаю поделку на стол -- опа, сложилась, значит -- нежесткая. Добавил ещё одну проволочку, бросил на стол -- опа, не сложилась, сохранила форму, значит -- жесткая.

Изменение длин рёбер пропорционально квадрату угла искривления. Для достаточно малых углов изменение длин в пределах точности вашей конструкции.

[Circiter]

Да, действительно, в моих соображениях есть сбой, жалко. А этот жирный зеленый маркер не дал мне увидеть ещё три ребра на рисунке. :)

-- Вт авг 09, 2011 03:04:27 --

Впрочем, в той же книжке, фермы, с числом ребер, превышающим $2n-3$, называются статически неопределимыми (мол, усилия в стержнях не могут быть выведены только из уравнений статики абсолютно твердого тела). Контрпример venco, очевидно, относится к этому случаю; хотя от выбрасывания лишних ребер более жесткой эта ферма не становится... :)

Да и вообще, меня больше интересовали рассуждения о наличии 3-циклов в $n$-вершинном графе с $2n-3$ ребрами. По этому поводу кто-нибудь может дать комментарии? Заранее спасибо!

[ИСН]

Ну возьмите скелет 4-мерного куба: рёбер даже больше, чем надо, а треугольников - - -

[Circiter]

Да что-то совсем мало в той книжонке о строительных фермах было написано. В википедии и то больше: wiki/Truss#Statics_of_trusses. В частности, выяснилось, что, да, действительно, та формула не является логически достаточным условием (только необходимым)... Лишь бы строители ту книжку не читали, а то понастроят... :)

Насчет треугольников в тессеракте тоже убедительно... Хотя, учитывая, что в плоскость он вроде как не вкладываем, только погружаем, то после размещения узлов в точках пересечения образов ребер при таком проецировании, треугольники обязательно должны появяться. :)

[Sirion]

Circiter в сообщении #474325 писал(а):

2Kallikanzarid

Цитата:

С другой стороны, длина поперечных ребер пропорциональна длине соответствующих диагоналей.

Простите, я вообще очень туго соображаю. К чему вы это? :) Я имел ввиду, что не хватает одного ребра с точки зрения упомянутой мной выше формулы из теории ферм.

Кстати, собрал скелет уложенного на плоскость куба из двенадцати обрезков толстой медной проволоки (изготовив петли на концах отрезков -- для сочленений). Ничего похожего на жесткость не наблюдается, т.е. такая конструкция не моделирует твердое тело (а вот добавление ещё одного ребра делает конструкцию недефорируемой). Правда поделка выполнена небрежно, может в этом проблема... Надеюсь, кто-нибудь повторит эксперимент.

Я давно уже провёл этот эксперимент. Сгибается прекрасно, центральный ромб просто поворачивается относительно внешнего. Но аналитически пока это показать не удалось.

[ИСН]

Чёрт Неужели...

[Circiter]

Хм, про вращения внутреннего контура я не подумал...

Т.е. ситуация примерно такая (рисунок схематичен):

$\begin{tikzpicture} \coordinate(A1)at(-1,1); \coordinate(A2)at(1,1); \coordinate(A3)at(1,-1); \coordinate(A4)at(-1,-1); \coordinate(B1)at(-0.6,0.6); \coordinate(B2)at(0.6,0.6); \coordinate(B3)at(0.6,-0.6); \coordinate(B4)at(-0.6,-0.6); \color{green!40!black} \draw(A1)--(A2)--(A3)--(A4)--cycle; \draw(B1)--(B2)--(B3)--(B4)--cycle; \draw[dashed,red](B1)--(B3); \draw(A1)node[blue]{$\bullet$}--(B1)node[blue]{$\bullet$}; \draw(A2)node[blue]{$\bullet$}--(B2)node[blue]{$\bullet$}; \draw(A3)node[blue]{$\bullet$}--(B3)node[blue]{$\bullet$}; \draw (A4)node[blue]{$\bullet$}--(B4)node[blue]{$\bullet$}; \draw[->,ultra thick,red](1.2,0)--(2,-0.3); \draw[->,ultra thick,red](0,-1.2)--(-0.2,-2); \end{tikzpicture}\begin{tikzpicture}[xslant=-0.5] \coordinate(A1)at(-1,1); \coordinate(A2)at(1,1); \coordinate(A3)at(1,-1); \coordinate(A4)at(-1,-1); \coordinate(B1)at(-0.6,0.6); \coordinate(B2)at(0.6,0.6); \coordinate(B3)at(0.6,-0.6); \coordinate(B4)at(-0.6,-0.6); \color{green!40!black} \draw(A1)--(A2)--(A3)--(A4)--cycle; \draw(B1)--(B2)--(B3)--(B4)--cycle; \draw(A1)node[blue]{$\bullet$}--(B1)node[blue]{$\bullet$}; \draw(A2)node[blue]{$\bullet$}--(B2)node[blue]{$\bullet$}; \draw(A3)node[blue]{$\bullet$}--(B3)node[blue]{$\bullet$}; \draw (A4)node[blue]{$\bullet$}--(B4)node[blue]{$\bullet$}; \end{tikzpicture}\\\begin{tikzpicture} \coordinate(A1)at(-1,1); \coordinate(A2)at(1,1); \coordinate(A3)at(1,-1); \coordinate(A4)at(-1,-1); \coordinate(B1)at(-0.8,0.4); \coordinate(B2)at(0.4,0.8); \coordinate(B3)at(0.8,-0.4); \coordinate(B4)at(-0.4,-0.8); \color{green!40!black} \draw(A1)--(A2)--(A3)--(A4)--cycle; \draw(B1)--(B2)--(B3)--(B4)--cycle; \draw[orange](A1)node[blue]{$\bullet$}--(B1)node[blue]{$\bullet$}; \draw[orange](A2)node[blue]{$\bullet$}--(B2)node[blue]{$\bullet$}; \draw[orange](A3)node[blue]{$\bullet$}--(B3)node[blue]{$\bullet$}; \draw[orange](A4)node[blue]{$\bullet$}--(B4)node[blue]{$\bullet$}; \end{tikzpicture}$

Пунктирной линией обозначено дополнительное ребро, дающее жесткость от сжатия, показанного правее основной фермы. Это ребро не спасет от показанного ниже основной конструкции поворота внутреннего квадрата. Но мне кажется, что такое проворачивание неосуществимо...

[venco]

Circiter в сообщении #474766 писал(а):

Но мне кажется, что такое проворачивание неосуществимо...

Дык, проворачивание, впрочем как и сжатие, неосуществимо и без дополнительного ребра. Надо только рёбра идеально жёсткие взять.

[Circiter]

2venco

Цитата:

Дык, проворачивание, впрочем как и сжатие, неосуществимо

Ну объясните пожалуйста, почему показанное на рисунке сжатие неосуществимо-то? Что-то до меня не доходит... /* Разумеется, ребра идеально жесткие. */

[venco]

Circiter в сообщении #474786 писал(а):

2venco

Цитата:

Дык, проворачивание, впрочем как и сжатие, неосуществимо

Ну объясните пожалуйста, почему показанное на рисунке сжатие неосуществимо? Что-то до меня не доходит... /* Разумеется, ребра идеально жесткие. */

А вы сами не заметили, что в искривлённых конфигурациях у вас длины рёбер другие?
Если взять внутренний квадрат со стороной $1$, внешний - со стороной $1+\sqrt 2$, то минимум суммы длин диагональных рёбер, равный $4$, достигается только при прямой конфигурации. Любое искривление делает сумму диагональных рёбер больше $4$.

[Circiter]

Так, ну при вращении внутреннего контура, удлинение ребер, отмеченных на рисунке выше оранжевым цветом, я сейчас вижу. Насчет сжатия надо подумать...

-- Чт авг 11, 2011 04:50:26 --

А, всё, дошло. :) Да, скелет куба в этом смысле жесткий (недеформируется даже при подвижных сочленениях). Уф.

[venco]

venco в сообщении #474787 писал(а):

Circiter в сообщении #474786 писал(а):

2venco

Цитата:

Дык, проворачивание, впрочем как и сжатие, неосуществимо

Ну объясните пожалуйста, почему показанное на рисунке сжатие неосуществимо? Что-то до меня не доходит... /* Разумеется, ребра идеально жесткие. */

А вы сами не заметили, что в искривлённых конфигурациях у вас длины рёбер другие?
Если взять внутренний квадрат со стороной $1$, внешний - со стороной $1+\sqrt 2$, то минимум суммы длин диагональных рёбер, равный $4$, достигается только при прямой конфигурации. Любое искривление делает сумму диагональных рёбер больше $4$.

Тут я поспешил. Сумма может быть меньше, но если добавить ограничение, что диагональные рёбра равны, то при искривлениях сумма строго больше $4$.

[Sirion]

Как-то всё это вилами на воде...