Почему алгебра=геометрия?

[bigarcus]

Почему алгебра и геометрия - это одно и то же? Или это не так?
Любую ли "геометрическую" задачу можно переформулировать в "алгебраическую", и наоборот? Как такой "перевод" осуществляется?
И зачем тогда изучать и алгебру, и геометрию?

[mihailm]

bigarcus в сообщении #473906 писал(а):

Почему алгебра и геометрия - это одно и то же?
...

(Оффтоп)

по кочану

[Kallikanzarid]

bigarcus в сообщении #473906 писал(а):

Почему алгебра и геометрия - это одно и то же? Или это не так?

Это не одно и то же, но алгебра и геометрия (и топология заодно) очень тесно друг с другом связаны.

bigarcus в сообщении #473906 писал(а):

Любую ли "геометрическую" задачу можно переформулировать в "алгебраическую", и наоборот?

Слишком расплывчатый вопрос: геометрий очень много, алгебраических структур - тоже. Если вы говорите исключительно о евклидовой геометрии на плоскости и в пространстве, то да, любое утверждение на языке аксиоматики евклидовой геометрии можно эквивалентно сформулировать как утверждение о системе многочленов. С другой строны, многие вопросы алгебры наиболее плодотворно исследуются, когда им дается геометрическая интерпретация.

mihailm в сообщении #473911 писал(а):

И зачем тогда изучать и алгебру, и геометрию?

И геометрия, и алгебра важны и как объекты исследований, и как методы исследований. Например, алгебра имеет применение в криптографии, а геометрия - в исследовании динамических систем, это совершенно не связанные друг с другом приложения. Но наиболее красивые и глубокие теории, безусловно, получаются тогда, когда алгебра и геометрия тесно переплетаются. В результате появляются такие интерснейшие и невероятно обширные разделы математики, как алгебраическая геометрия, алгебраическая топология, алгебраическая теория графов, теория Ли, теория однородных пространств и многие другие.

Нельзя также забывать и математический анализ! Этот гигантский раздел также неразрывно связан с алгеброй и геометрией: теория представлений и гармонический анализ, теория функций комплексного переменного, теория меры, дифференциальная геометрия, дифференциальная топология, функциональный анализ и многие другие разделы математики немыслимы без анализа, алгебры и геометрии одновременно.

[Munin]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #473919 писал(а):

С другой строны, многие вопросы алгебры наиболее плодотворно исследуются, когда им дается геометрическая интерпретация.

О, вот я знаю, к кому обратиться. Вы, случаем, не знаете геометрической интерпретации для понятий центра группы, нормальной подгруппы, простой группы, полупростой группы, разрешимой группы?

[bigarcus]

Цитата:

алгебра и геометрия (и топология заодно)

Часто вижу в списке предметов ВУЗов алгебру и топологию, а геометрии нет. Почему? Не включает ли топология геометрию в себя как часть?

Цитата:

Если вы говорите исключительно о евклидовой геометрии на плоскости и в пространстве, то да, любое утверждение на языке аксиоматики евклидовой геометрии можно эквивалентно сформулировать как утверждение о системе многочленов.

Более конкретно, я имел в виду школьную алгебру и про школьную геометрию. Для них, как я понял из Вашего ответа, алгебра=геометрия.

Цитата:

алгебраических структур - тоже

Что такое алгебраические структуры? (поля, кольца, группы,...)?

Цитата:

любое утверждение на языке аксиоматики евклидовой геометрии можно эквивалентно сформулировать как утверждение о системе многочленов

Как эту эквивалентную формулировку производить при одной заданной? Любой линии соответствует свой многочлен, да? Как тогда нарисовать, например,
$\frac{5}{x+1}$?

[Gortaur]

Kallikanzarid

(Оффтоп)

Последняя Ваша цитата просто разжижает можьг.

bigarcus
Не зная точно, что Вы имеете ввиду под алгеброй и геометрией, можно допустить ошибку давая ответ. Тем не менее, он может звучать так. В исследовании или решении любой научной задачи есть два этапа - догадка и доказательство.

"Алгебра" дает возможности строгого математического доказательства фактов, общего взгляда на структуры объектов и при их схожести - решение многих задач одной области методами, разработанными в другой области. Простейший пример - многие геометрические задачи на плоскости на ура решаются в школе "методом координат" - вроде так он назывался. Это когда вводится система координат и используя скалярные/веторные умножения решение делается в две строчки "алгебраическим" методом, в то время как чисто "геометрическое" решение может быть гораздо дольше.

С другой стороны стороны, "геометрия" и ее методы бесценны для нового взгляда на проблему. Когда Вы работаете с задачей, которую не знаете как решать - отлично помогает геометрическая интерпритация этой самой задачи. Школьники видят это на примерах олимпиадных задач. Причина в том, что в школе частенько учат методам, а потом все сводится к употреблению этих методов для решения задач - когда и какой метод правильно было бы использовать. По сути все методы хороши, если приводят к решению задачи и верному ответу. В олимпиадных задачах школьник сталкивается с пониманием, что он не знает, как решать эту задачу - его этому не учили. И именно здесь отлично должна сработать интуиция - попытка взглянуть на задачу с нешкольной, нестандартной точки зрения, например найти геометрическое описание казалось бы чисто алгебраической задачи. Вспомнил пример - для решения всяких неравенств с параметрами, отличный метод - нарисовать график и прикинуть (геометрически) куда он будет двигаться. Это даст догадку, дальше - дело техники.

[bigarcus]

Цитата:

О, вот я знаю, к кому обратиться. Вы, случаем, не знаете геометрической интерпретации для понятий центра группы, нормальной подгруппы, простой группы, полупростой группы, разрешимой группы?

Как минимум, там было написано "многие", а не все.

[Gortaur]

Munin
Их наверное, сложнее нарисовать, чем описать - поэтому и нет.

-- Вс авг 07, 2011 00:13:34 --

Вы тут еще написали.

bigarcus в сообщении #473927 писал(а):

Часто вижу в списке предметов ВУЗов алгебру и топологию, а геометрии нет. Почему? Не включает ли топология геометрию в себя как часть?

Когда я учился, были предметы "Линейная алгебра и геометрия", "Аналитическая геометрия", "Дифференциальная геометрия" - но думаю, что сейчас особенно сильна связь с геометрией и диф.геомом и топологией (общей, дифференциальной, алгебраической). Это представляется логичным продолжением школьных планиметрии и стереометрии.

[bigarcus]

Цитата:

Вспомнил пример - для решения всяких неравенств с параметрами, отличный метод - нарисовать график и прикинуть (геометрически) куда он будет двигаться. Это даст догадку, дальше - дело техники.

Отличный пример, спасибо, я не знал. Только не могу понять, как это даст догадку. Ведь это даст только ответ на вопрос "что больше?". Но это же не помогает при решении. Разве что, отчасти при сверке ответов.

Цитата:

Их наверное, сложнее нарисовать, чем описать - поэтому и нет.

То есть, геометрическая интерпретации понятий центра группы, простой группы и прочих есть, но пользоваться ими нецелесообразно, неэффективно, сложно?

[Gortaur]

bigarcus
"...поэтому и нет" значит, что они есть?

[bigarcus]

Цитата:

"...поэтому и нет" значит, что они есть?

Стоп. Я так и не понял, поэтому и переспросил. Из Вашего первого ответа

Цитата:

Их наверное, сложнее нарисовать, чем описать - поэтому и нет.

я понял, что они (геометрические интерпретации понятий центра группы, простой группы и т.д.) существуют (то есть они есть, даже если они никому неизвестны), но ими непользуются (потому что сложнее, чем на алгебраическом "языке").

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #473926 писал(а):

Вы, случаем, не знаете геометрической интерпретации для понятий центра группы, нормальной подгруппы, простой группы, полупростой группы, разрешимой группы?

Нет, но я не исключаю, что когомология групп может ее предоставить :)

-- Вс авг 07, 2011 04:25:02 --

bigarcus в сообщении #473927 писал(а):

Не включает ли топология геометрию в себя как часть?

Нет.

bigarcus в сообщении #473927 писал(а):

Более конкретно, я имел в виду школьную алгебру и про школьную геометрию. Для них, как я понял из Вашего ответа, алгебра=геометрия.

Тоже нет, нельзя так агульно ставить знак равенства. Вот для вас лично они отличаются?

bigarcus в сообщении #473927 писал(а):

Как эту эквивалентную формулировку производить при одной заданной? Любой линии соответствует свой многочлен, да? Как тогда нарисовать, например,
$\frac{5}{x+1}$?

Это не многочлен. А так - прямой на плоскости можно сопоставить многочлен, нулями которого она является, например вида $ax + by + c$, окружности соответствует многочлен вида $ax^2 + by^2 + c$ и т. д. Конкретно "переводом" задач я никогда не занимался, но слышал, что любую задачу евклидовой геометрии можно перевести в задачу о многочленах.

-- Вс авг 07, 2011 04:40:13 --

Gortaur в сообщении #473928 писал(а):

Последняя Ваша цитата просто разжижает можьг.

Это в хорошем или в плохом смысле?

[bigarcus]

Цитата:

Тоже нет, нельзя так агульно ставить знак равенства. Вот для вас лично они отличаются?

Конечно, отличаются, как дисциплины. Но метод координат дает сильное ощущение что алгебра и геометрия - два различных "яызка". И что возможно существования не двух, а одного задачника по этим двум школьным предметам. Какие-то задачи (вроде пересечения прямых) как решать и "там" и "там"понять. Но большинство - нет. А хотелось бы уметь "переводить".

Цитата:

Конкретно "переводом" задач я никогда не занимался, но слышал, что любую задачу евклидовой геометрии можно перевести в задачу о многочленах.

А любую ли (школьную) алгебраическую задачу можно сформулировать в терминах многочленов?

И что: $\frac{5}{x+1}$ совсем никак нельзя нарисовать?

[Kallikanzarid]

bigarcus в сообщении #473942 писал(а):

Конечно, отличаются, как дисциплины. Но метод координат дает сильное ощущение что алгебра и геометрия - два различных "яызка".

Ну вот как дисциплины они и отличаются. Если вы возьмете конкретную геометрию, то наверняка сможете плодотворно исследовать ее методами алгебры. Ваш вопрос в целом слишком широк и глубок для меня.

[Munin]

bigarcus в сообщении #473942 писал(а):

А любую ли (школьную) алгебраическую задачу можно сформулировать в терминах многочленов?

А вот задача, например, разложения числа на простые множители - алгебраическая?