Почему алгебра=геометрия?

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #473939 писал(а):

слышал, что любую задачу евклидовой геометрии можно перевести в задачу о многочленах.

А точно можно? Есть же и трансцендентные кривые... да та же синусоида — ее никакой системой уравнений вида

$$\left\{\begin{matrix}F_1(x,y)=0,\\ \ldots \\ F_n(x,y)=0,\end{matrix}\right.$$

где $F_i(x,y)\in \mathbb R[x,y]$ задать невозможно.

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #474117 писал(а):

Есть же и трансцендентные кривые

А как вы эти кривые определите с помощью аксиоматики евклидовой геометрии?

[Joker_vD]

Ну Архимед же как-то свою спираль построил?

[Батороев]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #474006 писал(а):

Красиво, но это только формулировка, вот если бы решение было тоже геометрическим...

Кабы было, тогда б я в Сочах жил...
Но ведь и других решений нет.

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #473948 писал(а):

bigarcus в сообщении #473942 писал(а):

А любую ли (школьную) алгебраическую задачу можно сформулировать в терминах многочленов?

А вот задача, например, разложения числа на простые множители - алгебраическая?

Ну, если вспомнить Матиясевича и десятую проблему Гильберта, то, наверное, да

Можно записать многочлен с целыми коэффициентами $p(x,y,z_1, \ldots, z_n)$ такой, что для всех натуральных $a,b$ выполняется $\exists z_1 \ldots \exists z_n \big( p(a,b,z_1,\ldots, z_n) = 0 \big)$ тогда и только тогда, когда $a$ - простой делитель $b$. Переменные $z_i$ под кванторами пробегают натуральный ряд.

[Leox]

Существует целое направление алгебраической геометрии которое занимается переводом геометрических задач на именно язык алгебры, называется - Автоматическое доказательство теорем. При таком подходе условие задачи описывается некоторым идеалом кольца многочленов а то что нужно доказать тоже описывается многочленом. Тогда , чтобы доказать справедливость теоремы нужно доказать что етот многочлен принадлежит идеалу. Есть книги с переводом сотен геометрических задач на язык алгебры, например

Chou, S.-Ch., Gao, X., Zhang, J.-Z., Machine proofs in geometry.Automated production of readable proofs for geometry theorems. Adv. in Math. for Appl. Sci., 1994.

Но там не все так просто и имеются сложности. На русском языке хорошо описана ета идея и сложности в

Кокс Д. Литтл Д. О`Ши Д. Идеалы многообразия и алгоритмы

Относительно главного вопроса, можно упомянуть Ерлангенскую программу Клейна о тождественности проективной геометриии и теории инвариантов.