Смена норма и ограниченность линейного оператора

[Gortaur]

Пусть $L$ - Банахово пространство, на котором заданы две нормы $\|\cdot\|'_L$ и $\|\cdot\|''_L$. Определим для линейного оператора $\mathcal A:L\to L$ также две нормы

$$ \|\mathcal A\|' = \sup\limits_{f\in L}\frac{\|Af\|'_L}{\|f\|'_L} $$

и

$$ \|\mathcal A\|'' = \sup\limits_{f\in L}\frac{\|Af\|''_L}{\|f\|''_L}. $$

Допустим, $\|\mathcal A\|'<\infty$ - следует ли из этого, что $\|\mathcal A\|''<\infty$? Мотивация такая: вижу, что говорят о неограниченности дифференциальных операторов. Какая норма имеется ввиду, и можно ли найти такую, в которой они ограничены.

-- Пт авг 05, 2011 16:17:31 --

Собственные мысли такие: ограниченность у нас есть тогда и только тогда, когда оператор непрерывен в нуле. С другой стороны, непрерывность в нуле сохраняется при эквивалентности норм, но у нас они не обязаны быть эквивалентны.

[alcoholist]

Gortaur в сообщении #473654 писал(а):

Пусть $L$ - Банахово пространство, на котором заданы две нормы $\|\cdot\|'_L$ и $\|\cdot\|''_L$.

оно банахово относительно какой из норм?

[Gortaur]

alcoholist
Хорошее замечание. Допустим, относительно обеих.

[MaximVD]

Если пространство $L$ банахово относительно обоих норм, то ситуация несколько упрощается. В данном случае, если одна из норм мажорирует другую, то они эквивалентны (это следует из теоремы Банаха об обратном операторе).

[Portnov]

MaximVD
Ну так самое интересное как раз в том случае, если ни одна из норм не мажорирует другую. Если нормы эквивалентны, то всё понятно и всё скучно.

С дифференциальным оператором есть ещё другая заковыка: в классических определениях он действует в другое пространство, скажем, $\frac{d}{dx}: C^1\to C$. Так что в задаче надо, строго говоря, рассматривать не две, а ажно четыре нормы (две на исходном пространстве и две на целевом). Вроде как-то можно определить дифференциальный оператор, действующий в то же пространство, но тут я сходу не уверен (см. в сторону обобщённых ф-ций и обобщённых производных).

UPD. Кажется, я даже подобрал интересный пример. Возьмём на пространстве $C^1$ (непрерывно дифференцируемых функций) ту же норму, что на $C$ (чебышевскую). Тогда оператор дифференцирования будет (кажется) непрерывным. Только вот $C^1$ с такой нормой — не полное, т.е. не банахово.

[ewert]

Portnov в сообщении #473772 писал(а):

Возьмём на пространстве $C^1$ (непрерывно дифференцируемых функций) ту же норму, что на $C$ (чебышевскую). Тогда оператор дифференцирования будет (кажется) непрерывным.

Конечно, не будет. Операторы дифференцирования не могут быть ограниченными (относительно одной и той же нормы на входе и на выходе, естественно, а иначе и обсуждать нечего) просто потому, что ограниченность самой функции никак не ограничивает возможные колебания этой функции. И если для норм вообще -- это некоторая лирика, то уж для конкретно равномерной-то нормы верно буквально и безоговорочно.

Portnov в сообщении #473772 писал(а):

С дифференциальным оператором есть ещё другая заковыка: в классических определениях он действует в другое пространство, скажем, $\frac{d}{dx}: C^1\to C$.

На самом деле слова следует переставить в обратном порядке. Если оператор действует внутри некоторого пространства и неограничен, то он не может быть определён на всём пространстве. Во всяком случае, если он замкнут или хотя бы допускает замыкание, а дифференциальные операторы именно таковы (контрпримеры если и можно подобрать, то это будет экзотика).

С неограниченностью дифференциальных операторов не следует бороться, нужно принять её смиренно и как факт, в т.ч. и потому, что она явно отражается на свойствах приближённых вычислений, связанных с этими операторами.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #473787 писал(а):

Если оператор действует внутри некоторого пространства и неограничен, то он не может быть определён на всём пространстве.

это неверно

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #473794 писал(а):

это неверно

Что именно неверно? Естественно, пространство имелось в виду банахово. Ну разве что слова "допускает замыкание" не очень удачны.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #473805 писал(а):

Что именно неверно?

Ваше утверждение неверно, которое я процитировал.

Рассмотрим неограниченный линейный функционал $f:l_\infty\to\mathbb{R}$. Почему этот функционал существует, на этом форуме обсуждалось. Теперь построим линейный оператор $A:l_\infty\to l_\infty$ по правилу
$x\mapsto (f(x),0,0,\ldots)$. Этот оператор не ограничен и определен на всем $l_\infty$.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #473807 писал(а):

Рассмотрим неограниченный линейный функционал $f:l_\infty\to\mathbb{R}$.

Не рассмотрим -- он не замкнут, как бы ни выглядел.

(Вообще контрпример с конечномерным пространством на выходе не построишь -- там ограниченность равносильна замкнутости. А вот если размерность образа бесконечна, то равносильности нет. Но зато есть теорема о замкнутом графике.)

[Oleg Zubelevich]

А я разве сказал ,что он замкнут?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #473812 писал(а):

А я разве сказал ,что он замкнут?

Зато я сказал с самого начала, что речь о замкнутых операторах.

[Oleg Zubelevich]

Да, теперь прочитал до конца.

[Gortaur]

Вообще, подробнее будет так. Есть непрерывная полугруппа линейных операторов $T_t:L\to L$ и $\mathcal A$ - ее генератор. При этом $\|T_t\|\leq 1$ для всех $t$. Насколько я понял, из этого не следует ограниченность $\mathcal A$. Он задается через формулу

$$ \mathcal Af = \lim\limits_{t\to 0}\frac{T_tf-f}{t} $$

для тех $f$, для которых данный предел существует, скажем из множества $D$. Тогда $D$ - подпространство $L$ и всюду плотно в $L$. Вопрос такой - для всех ли норм будет неограниченность генератора группы? Может, для дифференциальных операторов надо взять, скажем, норму Соболевских пространств.

[ewert]

Gortaur в сообщении #473867 писал(а):

Может, для дифференциальных операторов надо взять, скажем, норму Соболевских пространств.

Ну нельзя же: оператор обязан действовать в пространстве, а не из него, элементы же образа оператора категорически отказываются принадлежать (вообще говоря) этому соболевскому классу, принципиально отказываются.