Второй ребёнок в теории вероятностей.

[gris]

А если так поставить вопрос: мальчик говорит по телевизору, что в их семье двое детей. Какова вероятность того, что его семья с разнополыми детьми?

[PAV]

А вот если по телевизору выступает Ваша одноклассница и говорит, что у нее двое детей и Ксюша уже в десятом классе, тогда вероятности будут $\frac13$ и $\frac23$.

[Lukin]

А я согласен с gris насчет имен.
В семье двое детей: Саша и Женя. Саша - мальчик, вероятность, что Женя и Саша мальчики равна $\frac {1}{2}$.

(Оффтоп)

Только два обстоятельства заставляют меня признать, что правильный ответ на задачу ТС $\frac{1}{3}$. Первое - объективная система языка, в которой слова "мальчик / девочка", "старший / младший" несут смысловую нагрузку, что исключает формальную замену этих пар, они антонимы между собой, но сами эти пары не антонимы.
Второе - экспериментальный аспект (невозможность одновременного рождения детей). Методологически я пришел к мысли о не категоричности абстрагировавшись от смысла слов "дети, пары, мальчик, девочка, старший, младший" и от экспериментальных ограничений.

Чтобы было понятней, замените эти слова чем-то бессодержательным, например, "рюся, глока, куздра, лыздра, брямся, дюзя" в любом порядке и составив условия задачи подставляйте исходные слова, чтобы уловить смысл, например:
" В семье две рюси. Известно, что одна из рюсь - брямся. Какова вероятность, что обе рюси брямси ?"

[gris]

PAV в сообщении #473687 писал(а):

А вот если по телевизору выступает Ваша одноклассница и говорит, что у нее двое детей и Ксюша уже в десятом классе, тогда вероятности будут $\frac13$ и $\frac23$.

А если по телевизору выступает Ксюша и говорит, что у её мамы двое детей, то вероятности будут $\frac12$ и $\frac12$?

[PAV]

Правильный ответ зависит от того, как выбирался этот случайный мальчик, который выступает по телевизору. Более естественно, что выбор был равномерный среди детей. Тогда $\frac12$. Однако могло быть и так, что случайно выбрали семью, а из нее взяли мальчика. Тогда ответ другой.

-- Пт авг 05, 2011 19:00:43 --

Lukin в сообщении #473688 писал(а):

А я согласен с gris насчет имен.
В семье двое детей: Саша и Женя. Саша - мальчик, вероятность, что Женя и Саша мальчики равна $\frac {1}{2}$.

Это неверно, но переубеждать мне надоело

Upd: мой косяк, Lukin прав.

[gris]

То есть и ответ на вопрос топикстартера, где слова "один из детей мальчик" зависит от того, как была получена эта информация?
Источник мог а)увидеть по телевизору одного из детей; б) ознакомиться с полным составом семьи.

[PAV]

Смысл вероятности случайного события заключается в том, что если проводить много независимых реализаций случайного эксперимента, то частота появления этого события будет приближаться к вероятности. Оставим в стороне вопрос о том, что если эксперимент невоспоизводим, то и смысла в понятии "вероятность" нет. Споры в данной теме происходят оттого, что не вполне определен ход проведения этого случайного эксперимента. Если его проводить по-разному, то вероятность одного и того же события вполне может получаться разной. Пусть есть много мамаш, у каждой из которых по два ребенка. Все дети отдельной толпой играют в стороне. Можно выдергивать из толпы детей мальчиков и спрашивать их про братьев-сестер - это один экперимент. Можно попросить поднять руки тех мам, у которых есть хотя бы один мальчик, выбрать из них случайную маму и попросить ее привести своего мальчика - это будет другой эксперимент. В первом случае каждый мальчик имеет равные шансы быть выбранным. Во втором - мальчики, имеющие сестру, имеют большие шансы быть выбранными, чем мальчики, имеющие брата.

[Lukin]

PAV в сообщении #473691 писал(а):

Lukin в сообщении #473688 писал(а):

А я согласен с gris насчет имен.
В семье двое детей: Саша и Женя. Саша - мальчик, вероятность, что Женя и Саша мальчики равна $\frac {1}{2}$.

Это неверно, но переубеждать мне надоело

Вам кажется, что имена идентифицируют объекты хуже, чем присовенные им числа.
В семье двое детей: первый и второй (старший, младший). Первый - мальчик, вероятность, что оба мальчики $\frac{1}{2}$ Вы это сами утверждали. Если же я идентифицирую детей не числами, а уникальными именами, по Вашему вероятность будет $\frac{1}{3}$. На мой взгляд, это не верно.

[PAV]

Lukin

да, я ошибся, а Вы правы.

[ewert]

Lukin в сообщении #473688 писал(а):

В семье двое детей: Саша и Женя. Саша - мальчик, вероятность, что Женя и Саша мальчики равна $\frac {1}{2}$.
. . . . . . . . . . . . . .
В семье две рюси. Известно, что одна из рюсь - брямся.

Неверная аналогия. В первом случае дополнительная информация сводится ровно к тому, что среди детей имеется мальчик. И более никакой информации нет. Посколько имена сами по себе ровно никакой информации в себе не содержат. (И, в частности, никак не фиксируют упорядочение детей, в отличие от возможного упоминания возраста.) Поэтому ответ -- $\frac13$.

Во втором случае просто формулировка двусмысленна. Буквально она означает, что "ровно одна из рюсей" (а не рюсь, кстати) -- брямся. И тогда действительно получается $\frac12$. Однако в силу двусмысленности вполне можно интерпретировать эту фразу и как "хотя бы одна из рюсей"; тогда выйдет $\frac13$. Здесь нет решительно никакого парадокса; есть лишь небрежность формулировки.

[PAV]

ewert в сообщении #473709 писал(а):

Неверная аналогия. В первом случае дополнительная информация сводится ровно к тому, что среди детей имеется мальчик. И более никакой информации нет. Посколько имена сами по себе ровно никакой информации в себе не содержат. (И, в частности, никак не фиксируют упорядочение детей, в отличие от возможного упоминания возраста.) Поэтому ответ -- $\frac13$.

Нет, неправильно. Рассуждаем так. Пусть имеется много семей с двумя детьми. Они поровну делятся на четыре класса: ММ, МД, ДМ, ДД (по старшинству детей). Далее, из них выбираем семьи, в которых детей зовут Саша и Женя. Будем считать, что в каждом классе таких тоже равное количество, и каждый из получившихся подклассов также делится на два равных - ЖС и СЖ (снова по старшинству).

Теперь выбираем семьи, в которых Саша - мальчик. В группе ММ нам подходит и ЖС и СЖ. А из групп МД и ДМ нам подходит только по половине - в первой только СЖ, а во второй только ЖС. В итоге в полученной подвыборке оказывается одинаковое количество семей, где у Саши есть брат, и таких, где сестра. Поэтому получается-таки $\frac12$. Действительно, имена упорядочивают детей не хуже, чем возраст.

[ewert]

PAV в сообщении #473719 писал(а):

Далее, из них выбираем семьи, в которых детей зовут Саша и Женя.

Ну выбрали. Среди них по-прежнему ММ, МД, ДМ и ДД -- априори равновероятны.

PAV в сообщении #473719 писал(а):

Будем считать, что в каждом классе таких тоже равное количество, и каждый из получившихся подклассов также делится на два равных - ЖС и СЖ (снова по старшинству).

Господи, да старшинство-то тут при чём. О нём в предыдущей цитате -- ни слова не было.

Так что ничего не выйдет. До тех пор, пока не указано явно, какое конкретно имя относилось к "первому" опыту, а какое -- ко "второму". При этом совершенно не важно, каким конкретно способом могла бы фиксироваться нумерация; важно, что она вообще никак не фиксировалась.

[venco]

PAV в сообщении #473719 писал(а):

Далее, из них выбираем семьи, в которых детей зовут Саша и Женя. Будем считать, что в каждом классе таких тоже равное количество

А почему, собственно? Имена Саша и Женя не равновероятны у девочек и мальчиков.

[ewert]

venco в сообщении #473735 писал(а):

Имена Саша и Женя не равновероятны у девочек и мальчиков.

По умолчанию считаются равновероятными. Вполне типичное и оправданное для учебной ТВ жульничество.

[PAV]

ewert в сообщении #473733 писал(а):

Господи, да старшинство-то тут при чём. О нём в предыдущей цитате -- ни слова не было.

Класс семей ММ, в которых детей зовут Саша и Женя, в новую совокупность попадает полностью, а из классов МД и ДМ - только по половине. Поэтому вероятности и выправляются.