Жёсткие конструкции.

[Sirion]

Пусть на плоскости задана совокупность точек, некоторые из которых соединены отрезками. Длины отрезков фиксированы. Отрезки могут пересекаться. Назовём это конструкцией.
Назовём две конструкции изоморфными, если они изоморфны как графы, и длины соответственных рёбер совпадают. Назовём конструкции конгруэнтными, если их можно совместить движением плоскости.
Изгибом конструкции назовём непрерывное преобразование плоскости, в каждой точке которого конструкция переходит в изоморфную ей конструкцию.
Жёсткой назовём конструкцию, для которой не существует изгиба, переводящего её в неконгруэнтную ей конструкцию.

Говоря по-русски, жёсткой конструкцией называется совокупность точек на плоскости и отрезков между ними, которую нельзя никак изогнуть, если представить, что отрезки - это твёрдые стержни, а точки - шарнирные соединения.

а) Существуют ли жёсткие конструкции, не содержащие треугольников?
б) Существуют ли жёсткие конструкции, не содержащие треугольников и не имеющие вершин степени 2 (если рассматривать их как графы)?
в) Существуют ли жёсткие конструкции, не содержащие треугольников и не имеющие вершин степени 2 (если рассматривать их как графы), отрезки которых не пересекаются?
г) Существуют ли жёсткие конструкции, не содержащие треугольников и развёрнутых углов?

[Kallikanzarid]

Определение изгиба (по сути, можно даже немного усилить (?) определение и определить его как h-изотопию) не выдерживает критики:
1) Отрезки в общем случае переходят в кривые,
2) Отрезки могут менять длину.

Например, при таком определении любые два треугольника можно перевести друг в друга изгибом (очевидным образом получающимся из аффинного преобразования $x \mapsto Ax + y$, где $\det A > 0$).

(Оффтоп)

Строим изотопию, используя линейную связность $\mathrm{GL}_n$

[Sirion]

Возможно, я как-то не так понимаю термин "непрерывное преобразование плоскости"? Я понимаю его следующим образом: семейство отображений $F_t: R^2 \to R^2$, где $t \in [0, 1]$, таких, что $F_0 = id$, и $\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta >0 : |t_1-t_2|< \delta \Rightarrow \forall p \in R^2 \ \rho(F_{t_1}(p), F_{t_2}(p))<\varepsilon$.

[Kallikanzarid]

Что-то у вас не клеится: вы получили по сути "перенедогомотопию": она (равномерно!) непрерывна по $t$, но ничего не сказано про ее непрерывность по другому аргументу.

-- Чт авг 04, 2011 19:41:11 --

Поправка: в предыдущем посте я имел ввиду линейную связность не $GL_n$, а $GL_n^+$, конечно же.

[Sirion]

Семейство непрерывных отображений, beg me pardon. Что касается равномерной непрерывности - в данном конкретном случае я не вижу разницы, куда ставить квантор по p.

[Kallikanzarid]

Sirion в сообщении #473436 писал(а):

Что касается равномерной непрерывности - в данном конкретном случае я не вижу разницы, куда ставить квантор по p.

Для некомпактных метрических пространств она есть.

Более важен вопрос: требовать ли обратимость и непрерывность обратного от каждого $F_t$ (то есть, чтобы F была изотопией)?

По сабжу: любой треугольник можно перевести в любой другой аффинным преобразованием $F_1(x) = Ax + b$. Строим гомотопию: выбираем непрерывную кривую $\gamma: I \to GL_n^+$ такую, что $\gamma(0) = \mathrm{id}$, $\gamma(1) = A$, затем строим $F_t(x) = \gamma(t)x + tb$. Получилась даже изотопия.

Поэтому получается, что треугольник не является жестким, что весьма нелепо :)

[Sirion]

Кхм... я только сейчас понял, что проблема, судя по всему, в другом месте.
От изгиба требуется, чтобы каждое отображение семейства переводило конструкцию в изоморфную ей. Следовательно, он по определению не может перевести треугольник в неравный ему треугольник. Я в растерянности...

[Kallikanzarid]

Sirion в сообщении #473442 писал(а):

От изгиба требуется, чтобы каждое отображение семейства переводило конструкцию в изоморфную ей.

А что за категорию мы обсуждаем-то?

[Sirion]

Sirion в сообщении #473323 писал(а):

Пусть на плоскости задана совокупность точек, некоторые из которых соединены отрезками. Отрезки могут пересекаться. Назовём это конструкцией.
Назовём две конструкции изоморфными, если они изоморфны как графы, и длины соответственных рёбер совпадают.

[Kallikanzarid]

Sirion
Точно, перечитка первого поста помогла. Да, тогда все вроде определено правильно.

Могу сразу ответить на один из вопросов:

Sirion в сообщении #473323 писал(а):

а) Существуют ли жёсткие конструкции, не содержащие треугольников?

Пример - любая трапеция, не являющаяся параллелограммом. Доказательство (довольно ленивый набросок): для определенности, пусть нижняя и верхняя стороны трапеции параллельны, и длина нижней больше длины верхней. Для данной трапеции построим последовательность трапеций, подобных ей и таких, что $1$-я трапеция - исходная, а нижняя сторона $i+1$-й трапеции совпадает с верхней стороной $i$-й. Таким образом получим последовательность вложенных (неформально, ибо категория у нас довольно куцая морфизмами ) друг в друга конструкций, где $i$-я конструкция является объединением (неформально) конструкций $1, \ldots, i$. Индуктивный предел этих конструкций будет треугольником с дополнительными распорками, параллельными основанию, причем длины его сторон полностью определяются длинами сторон исходной трапеции (одна из них будет равна длине нижней стороны, а остальные будут суммами очевидных геометрических прогрессий). Но если две неконгруэнтные трапеции изоморфны, то тогда изоморфны, но не конгруэентны будут и соответствующие треугольники. Но любые два треугольника конгруэнтны, следовательно построенные конструкции отличаться могут только расположением распорок. Но оно отличаться тоже не может, так как оно определяется длинами сторон (изоморфных) трапеций! Мы получили противоречие.

Формализовать этот аргумент будет больно, в первую очередь нужно договориться о более общих морфизмах либо перейти к другой категории с помощью "хорошего" функтора, например здесь можно перейти от трапеций к подмножествам $\mathbb{R}^2$ замыканиям внутренностей трапеций, тогда индуктивный предел можно будет формализовать, но будет сложно перейти к рассмотрению получившихся треугольников как конструкций, так как информация о распорках потеряется.

-- Чт авг 04, 2011 23:52:03 --

Возможно, тут как в случае с клеточными комплексами, имеет смысл перейти к геометрической реализации.

[Sirion]

Кхм... А это ничего, что чисто интуитивно трапеция изгибаема?

[Kallikanzarid]

Sirion в сообщении #473548 писал(а):

Кхм... А это ничего, что чисто интуитивно трапеция изгибаема?

ИМХО, чисто интуитивно она как раз весьма жесткая, попробуйте сделать физическую модель :)

[Sirion]

Вы ведь прочитали слово "некоторые" в определении конструкции?

[Kallikanzarid]

Sirion в сообщении #473570 писал(а):

Вы ведь прочитали слово "некоторые" в определении конструкции?

И?

[Kallikanzarid]

Sirion в сообщении #473323 писал(а):

б) Существуют ли жёсткие конструкции, не содержащие треугольников и не имеющие вершин степени 2 (если рассматривать их как графы)?
в) Существуют ли жёсткие конструкции, не содержащие треугольников и не имеющие вершин степени 2 (если рассматривать их как графы), отрезки которых не пересекаются?
г) Существуют ли жёсткие конструкции, не содержащие треугольников и развёрнутых углов?

Да. Пример: $A_k = e^\frac{2\pi i k}{n}$, $B_k = \frac{1}{2}e^\frac{2\pi i k}{n}$, $k = 1,\ldots,n$, ребрами соединены $A_k$ и $B_k$, $A_k$ и $A_{k + 1 \mod n}$, $B_k$ и $B_{k + 1 \mod n}$ для всех $k = 1,\ldots,n$. При $n > 3$ таким образом получается составленный из равнобедренных трапеций правильный $n$-угольник. Так как каждая трапеция жесткая, то и вся конструкция будет жесткая. Все ваши условия выполняются.