Функции коплексного переменого. Задача.

[C0rWin]

Помогите пожалуйста с решением следующей задачи:

Описать аналитически преобразование области |$z$|=1 и $z\ne-1$c помощью разветления функции: $f(z)=ln(z+z^2)$ которое удолетворяет условию $log(1)=0$.
Я начал решать задачу с того, что нашел (попытался найти) подходящее разветвление, а именно у меня получилось :
\ln (z) = \ln \left| z \right| + i\arg (z) + i2\pi n соответственно нужное нам разветвление получим при $n=0$ т.е. просто \ln (z) = \ln \left| z \right| + i\arg (z). Теперь мне показалось что было бы не плохо найти \arg (z + z^2 ), у меня получилось что если допустить что $z = rcis(\theta )$ то получим что \arg (z + z^2 ) = \frac{{3\theta }}{2} значит в общем виде $f(z)$ выглядит как $f(z)$ = \ln \left| {z + z^2 } \right| + i\frac{{3agr(z)}}{2}. И вот тут то я застрял, мне известно что любое преобразование с помощью комплексной логарифмической функции должно быть включенно в горизонтальную полоску шириной в $2\pi$. А тут у меня как то получается $3\pi$.

Вот и возник вопрос, что я делаю не так и как все это делать правильно.

[Brukvalub]

1.Вам задали функцию $f(z)=ln(z+z^2)$, а Вы почему-то стали выделять ветвь другой функции:

C0rWin писал(а):

Я начал решать задачу с того, что нашел (попытался найти) подходящее разветвление, а именно у меня получилось :
\ln (z) = \ln \left| z \right| + i\arg (z) + i2\pi n соответственно нужное нам разветвление получим при $n=0$ т.е. просто \ln (z) = \ln \left| z \right| + i\arg (z)....

2.

C0rWin писал(а):

Описать аналитически преобразование области |$z$|=1 и $z\ne-1$...

-эти условия задают линию, а не область.
Прежде всего стоит разобраться с этими неувязками.

[C0rWin]

Brukvalub писал(а):

1.Вам задали функцию $f(z)=ln(z+z^2)$, а Вы почему-то стали выделять ветвь другой функции:

C0rWin писал(а):

Я начал решать задачу с того, что нашел (попытался найти) подходящее разветвление, а именно у меня получилось :
\ln (z) = \ln \left| z \right| + i\arg (z) + i2\pi n соответственно нужное нам разветвление получим при $n=0$ т.е. просто \ln (z) = \ln \left| z \right| + i\arg (z)....

Извиняюсь я изначально не правильно задал условие, сейчас его уже подправил. Просили разветвление $log(1)=0$ Надеюсь теперь то, что я сделал более логично?

Brukvalub писал(а):

2.

C0rWin писал(а):

Описать аналитически преобразование области |$z$|=1 и $z\ne-1$...

-эти условия задают линию, а не область.
Прежде всего стоит разобраться с этими неувязками.

Да вы правы я не правильно выразился, это не область а просто круг с дыркой в (-1, 0). И мне надо найти как эта функция его преобразует.

[Brukvalub]

C0rWin писал(а):

Описать аналитически преобразование области |$z$|=1 и $z\ne-1$

, потом Вы писали:

C0rWin писал(а):

Да вы правы я не правильно выразился, это не область а просто круг с дыркой в (-1, 0). И мне надо найти как эта функция его преобразует.

-это не круг с дыркой, а окружность без точки.

[C0rWin]

Brukvalub писал(а):

C0rWin писал(а):

Описать аналитически преобразование области |$z$|=1 и $z\ne-1$

, потом Вы писали:

C0rWin писал(а):

Да вы правы я не правильно выразился, это не область а просто круг с дыркой в (-1, 0). И мне надо найти как эта функция его преобразует.

-это не круг с дыркой, а окружность без точки.

И как мне это помогает в решение?

[Brukvalub]

Чтобы выделить ветвь, нужно тем или иным способом запретить возможность обхода вокруг точек ветвления, например, проведя разрез - луч с началом в нуле, проходящий через вторую точку ветвления. Для окружности это сделать можно, а для круга-нет, поскольку разрез исключит из рассмотрения точки разреза.

[C0rWin]

Хорошо.... Теперь по порядку, правильно ли я выделил ветвь?

[Brukvalub]

C0rWin писал(а):

если допустить что$z = rcis(\theta )$ то получим что\arg (z + z^2 ) = \frac{{3\theta }}{2}

-непонятно, что означает: $z = rcis(\theta )$, и почему \arg (z + z^2 ) = \frac{{3\theta }}{2} - похоже, что Вы складываете аргументы слагаемых, в то время, как складываются аргументы сомножителей.

[C0rWin]

$rcis$(\theta ) = \cos (\theta ) + i\sin (\theta )
Теперь что есть такое число $arg(z+z^2)$?
\begin{array}{l} z = \cos (\theta ) + i\sin (\theta ) \\ z^2 = \cos (2\theta ) + i\sin (2\theta ) \\ \end{array}
\begin{array}{l} \arg (z + z^2 ) = \beta \\ tg(\beta ) = \frac{{\sin (\theta ) + \sin (2\theta )}}{{\cos (\theta ) + \cos (2\theta )}} = tg(\frac{{3\theta }}{2}) \\ \beta = arctg(tg(\frac{{3\theta }}{2})) = \frac{{3\theta }}{2} \\ \end{array}.

Или мои ошибки уже тут начинаются?
И можно получить ответ на вопрос: правильно ли я нахожу ветвь?

[Brukvalub]

1.Из равенства тангенсов двух углов не следует равенство самих углов.
2.В Ваших выкладках происходит сокращение дроби на ноль, когда, например, аргумент числа равен пи-задумайтесь над этим.

[C0rWin]

Хорошо, теперь я увидел ошибку.
Ну в принципе алгоритм правильный или нет?

[Brukvalub]

Пока я не увидел алгоритма, поэтому не могу судить о его правильности.

[C0rWin]

Хорошо, по всей видимости я не правильно изясняюсь. Попробую еще раз. И так:
1. Мне дано условие из которого я должен выделить ответвление функции это уловие $ln(1)=0$. Из чего я заключаю что речь идет о главном ответвлении функции логарифма. Т.е. $log(z)=log|z|+iarg(z).
2. Теперь я знаю, что когда меня просят найти как и куда трасформируется окружность (без точки (-1,0)) с помощью $log(z+z^2)$, я могу смело заявлять что речь идет о $log(z+z^2)=log|z+z^2|+iarg(z+z^2).
3. Мне нужно найти чему равняется $log|z+z^2|$ и $arg(z+z^2)$.
4. Посмотреть куда переходят точки с окружности зная все выше сказанное.

Есть где-то ошибки не точности?
Вобще-то хотелось бы услышать, как правильно делать такие задание, т.е. по шагам с чего начинать и как продвигаться. Я же не прошу решить мне задачу, а просто объяснить.

[Brukvalub]

C0rWin писал(а):

1. Мне дано условие из которого я должен выделить ответвление функции это уловие $ln(1)=0$. Из чего я заключаю что речь идет о главном ответвлении функции логарифма. Т.е. $log(z)=log|z|+iarg(z)$

Здесь для меня не все ясно. Ведь речь-то идет о функции $f(z)=ln(z+z^2)$, а ветвь Вы выделяете у функции $log(z)=log|z|+iarg(z)$. Первая из функций имеет больше точек ветвления! Остальные части алгоритма написаны верно. Кстати, как Вы понимаете процесс выделения однозначной ветви многозначной функции? Советую вам дополнительно прочесть параграф 21 и далее из книги Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. — Лекции по теории функций комплексного переменного - в ней неплохо объясняется способ выделения ветвей. И еще: почему бы Вам не разложить сумму z+z^2 на множители , после чего привлечь алгебраические свойства логарифма?

[C0rWin]

Если честно я не совсем понимаю, что не ясно... Ведь в условии говориться использовать разветвление которое удолетворяет $ln(1)=0$ меня же не просят найти разветвление когда $f(1)=0$ тут я прекрасно понимаю в чем разница. Да в самом начале я написал именно это условие, но потом когда перечитал задачу исправил. Или опять таки не ясно что я сделал? Если нет, то может поясните как правильно это делать (не всю задачу, а только это условие)?