Каких троек больше?

[Xenia1996]

Три натуральных числа (x, y, z) образуют хорошую тройку, если выполнено равенство $4x+3y+2z=2010$.
Три натуральных числа (x, y, z) образуют замечательную тройку, если выполнено равенство $4x+3y+2z=2001$.

Каких троек больше, хороших или замечательных, и на сколько?

Источник задачи:
Студенческая олимпиада ОмГУ по математике (физико-математические специальности, старшие курсы).


Желаю сверить ответ и решение:

(Оффтоп)

У меня получилось хороших больше на 500.
Каждая замечательная берёт за руку хорошую прибавлением 3 к игреку.
Но не каждая хорошая может таким же образом взять за руку замечательную - есть три натуральных числа, перестающие быть таковыми после уменьшения на 3.
y=1 и y=3 не годятся из соображений чётности.
Годится лишь y=2, получаем уравнение $4x+6+2z=2010$ или $2x+z=1002$ и находим, что таких троек ровно 500.

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #473223 писал(а):

Годится лишь y=2, получаем уравнение $4x+6+2z=2010$ или $2x+z=1002$ и находим, что таких троек ровно 500.

Вот здесь ошибка (получаем одно уравнение, безо всяких "или").

[Xenia1996]

TOTAL в сообщении #473355 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #473223 писал(а):

Годится лишь y=2, получаем уравнение $4x+6+2z=2010$ или $2x+z=1002$ и находим, что таких троек ровно 500.

Вот здесь ошибка (получаем одно уравнение, безо всяких "или").

Оба уравнения, между которыми стоит "или", являются равносильными.
Посему, мне кажется, что ошибка чисто лингвистическая.
Следовало написать "получаем уравнение $4x+6+2z=2010$, равносильное уравнению $2x+z=1002$".
Так?

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #473392 писал(а):

Оба уравнения, между которыми стоит "или", являются равносильными.
Так?

Нет, не так. Здесь перед "или" нет запятой, поэтому оно имеет значение "либо" (пойду налево или направо). Чтобы сказать "то есть", уточнение с "или" надо выделять запятыми.