Сначала обратить внимание, что нечетные значения n нам не подходят, поэтому n=2k и надо доказать, что последовательность
![$4k^2+1$ $4k^2+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/0/6f0865817c468bbceef7c26f9bfe53d482.png)
содержит бесконечное число простых чисел. Доказательство этого факта можно проводить от противного. Предположим, что количество простых чисел в данной последовательности конечно, тогда можно взять K равным произведению всех этих чисел ...и.т.д. придти к противоречию. Метод аналогичный теореме 339 в Бухштабе.
Ну естественно не получится потому, что простые вида
![$n^2+1$ $n^2+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/e/94e9845118a4010b8b070669499f898c82.png)
не исчерпывают всех простых.
К ней понемногу движутся с использованием решета.
Лет десять назад Иванец и Фридлендер доказали бесконечность простых вида
![$a^2+b^4$ $a^2+b^4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/7/357331435f0b223df694e162d718983e82.png)
. Надо бороться за повышение степени
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
. С другой стороны, есть оценки снизу наименьшего простого делителя
![$n^2+1$ $n^2+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/e/94e9845118a4010b8b070669499f898c82.png)
, их тоже улучшают.
Вот вам и "план доказательства". Хотя без новых идей здесь ничего не выйдет.
Надо погуглить бы
Но вообще, решето какой-то трудный инструмент. Прахар вот пишет, что решетом даже
![$\pi (x)=o(x)$ $\pi (x)=o(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/a/3dafdf41915ab9242bd2cb6cec4e0c4c82.png)
не доказывается. Решето у нас пока пригодилось только для простых-близнецов у Бруна и еще вроде где-то.
Может быть можно как-то рассматривать простые
![$n+i$ $n+i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/0/cf0827393e4abc38567d77304050885b82.png)
- их если нарисовать, то один довольно равномерно распределяются, вот только опять же фиг что докажешь...