Как доказывать бесконечность простых вида n^2+1

[Sonic86]

Точнее, бывает, что для гипотезы придумывают возможный план ее доказательства. Например, для ВТФ - гипотеза Таниямы + кривая Фрея, для гипотезы Пуанкаре - гипотеза геометризации. Есть ли аналогичная программа для доказательства бесконечности простых $n^2+1$.

[Kallikanzarid]

На math.SE сейчас весит ветка с наградой +100 как раз по обобщению этой гипотезы с использованием аналитической теории чисел.
http://math.stackexchange.com/questions ... rime-count

[Sonic86]

Kallikanzarid в сообщении #473034 писал(а):

На math.SE сейчас весит ветка с наградой +100 как раз по обобщению этой гипотезы с использованием аналитической теории чисел.
http://math.stackexchange.com/questions ... rime-count

Интересная ссылочка, спасибо.

[vorvalm]

Меня давно интересует вопрос. Существуют ли вообще простые близнецы типа $n^2\pm 1$. До $n=1000$ их нет.

-- Ср авг 03, 2011 12:30:39 --

[Руст]

vorvalm в сообщении #473132 писал(а):

Меня давно интересует вопрос. Существуют ли вообще простые близнецы типа $n^2\pm 1$. До $n=1000$ их нет.

-- Ср авг 03, 2011 12:30:39 --

Глупый вопрос. Разве $n^2-1$ при $n>2$ может быть простым.

[vorvalm]

Да, этот момет я как то упустил. Спасибо.

[vorvalm]

Предлагаю один из возможных вариантов:
$d=p_t-1=n^2$, n=2k (k- натуральное).
Применително к ПСВ рассмотрим разность в общем виде $d=p_t-p_s$.
Надо доказать, что любая четная разность представляется разностью двух нечетных простых чисел (альтернатива проблеме Гольдбаха).
Единица может выступать на правах простого числа $p_s$, т.к. она присутствует в интервале простых чисел ПСВ.
Число $n^2$ - четное и должно быть представимо этой разностью.

[ex-math]

К ней понемногу движутся с использованием решета.
Лет десять назад Иванец и Фридлендер доказали бесконечность простых вида $a^2+b^4$. Надо бороться за повышение степени $b$. С другой стороны, есть оценки снизу наименьшего простого делителя $n^2+1$, их тоже улучшают.
Вот вам и "план доказательства". Хотя без новых идей здесь ничего не выйдет.

[vorvalm]

Моя версия изложена в теме " Бесконечность простых чисел типа $n^2+1. (подробности здесь)

[temp03]

Sonic86 в сообщении #472883 писал(а):

Точнее, бывает, что для гипотезы придумывают возможный план ее доказательства. Например, для ВТФ - гипотеза Таниямы + кривая Фрея, для гипотезы Пуанкаре - гипотеза геометризации. Есть ли аналогичная программа для доказательства бесконечности простых $n^2+1$.

Думаю нехитрые преобразования + гипотеза Римана.

[ex-math]

Боюсь, гипотезы Римана здесь не хватит. Из нее будет следовать существование простого числа на промежутке $[x,x+y]$ при $y$ чуть большем $\sqrt x$ (на какие-нибудь логарифмы).

[vicvolf]

Сначала обратить внимание, что нечетные значения n нам не подходят, поэтому n=2k и надо доказать, что последовательность $4k^2+1$содержит бесконечное число простых чисел. Доказательство этого факта можно проводить от противного. Предположим, что количество простых чисел в данной последовательности конечно, тогда можно взять K равным произведению всех этих чисел ...и.т.д. придти к противоречию. Метод аналогичный теореме 339 в Бухштабе.

[Shadow]

vicvolf в сообщении #543755 писал(а):

Предположим, что количество простых чисел в данной последовательности конечно, тогда можно взять K равным произведению всех этих чисел

и получить число, неделящееся на ни одно из этих простых чисел. Но есть и другие простые, на которых полученое число может делится.

[vorvalm]

Теорему 339 Бухштаба нельзя использовать для чисел

$n^2+1=p$, т.к.

$n^2\equiv -1(\mod p), \;(\frac {-1} p)=1$

$N^2+1=\prod (n^2+1)^2+1$ не может иметь делителем число p.

Теорема 207' Бухштаба указывает при каких условиях $n^2+1$ делится на простое число р (или равно ему).

$p\equiv 1(\mod 4)$

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #543755 писал(а):

Сначала обратить внимание, что нечетные значения n нам не подходят, поэтому n=2k и надо доказать, что последовательность $4k^2+1$содержит бесконечное число простых чисел. Доказательство этого факта можно проводить от противного. Предположим, что количество простых чисел в данной последовательности конечно, тогда можно взять K равным произведению всех этих чисел ...и.т.д. придти к противоречию. Метод аналогичный теореме 339 в Бухштабе.

Ну естественно не получится потому, что простые вида $n^2+1$ не исчерпывают всех простых.

ex-math в сообщении #542128 писал(а):

К ней понемногу движутся с использованием решета.
Лет десять назад Иванец и Фридлендер доказали бесконечность простых вида $a^2+b^4$. Надо бороться за повышение степени $b$. С другой стороны, есть оценки снизу наименьшего простого делителя $n^2+1$, их тоже улучшают.
Вот вам и "план доказательства". Хотя без новых идей здесь ничего не выйдет.

Надо погуглить бы
Но вообще, решето какой-то трудный инструмент. Прахар вот пишет, что решетом даже $\pi (x)=o(x)$ не доказывается. Решето у нас пока пригодилось только для простых-близнецов у Бруна и еще вроде где-то.

Может быть можно как-то рассматривать простые $n+i$ - их если нарисовать, то один довольно равномерно распределяются, вот только опять же фиг что докажешь...