Является ли x=0 точкой разрыва функции?

[alivemind]

Дана функция $y=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$. Можно ли считать точку $x=0$ точкой разрыва?

Я рассуждал так. По определению: "Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности" (http://math24.ru/discontinuous-functions.html). В нашем случае левосторонний предел в точке $x=0$ не существует, правосторонний предел равен бесконечности. Если следовать приведенному определению, то это точка разрыва второго рода.

Но меня смущает тот факт, что $x=0$ не "разрывает" область определения, как например в случае функции $y=\frac{1}{x}$, а лежит вообще "за ее границами".

Так как же на самом деле? $x=0$ - это точка разрыва или нет?

[Joker_vD]

Да, это точка разрыва. Как бы вы в ней ни доопределили вашу $y = y(x)$, непрерывной в этой точке она не будет.

[nnosipov]

Лучше взять какой-нибудь хороший учебник по математическому анализу и посмотреть в нём определение и классификацию точек разрыва. Так, в "Курсе математического анализа" Кудрявцева понятие точки разрыва предполагает, что функция должна быть определена в некоторой проколотой окрестности этой точки. Для функции $y=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$ и точки $x=0$ это условие не выполнено.

[Joker_vD]

Ох. Поспешность — страшная вещь. Действительно, область-то определения у этой функции $D = (0,1]$, поэтому ноль — не точка разрыва, иначе вообще вся отрицательная полуось состоит из них.

[Виктор Викторов]

Посмотрите здесь topic44159.html

[alivemind]

Спасибо!