Точка разрыва

[Ёж]

Точка $x=1$ является точкой разрыва 2-го рада функции $y=\frac{x+2}{x-1}$.
Является ли точка $x=1$ точкой разрыва функции $y=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$?

[gris]

Надо взять определение точки разрыва и проверить.
Вначале определить область определения функции.

[Алексей К.]

Вы, Ёж, наверняка понимаете заковыку своего вопроса. Я вот слазил в Зорича за формальностями. А там само определение функции включает не только формулку, но и какие-то множества. Соответственно, применить полученную инфу к Вашему вопросу я не могу, т.к. Вы указали только формулку. Т.е. поступили так, как если бы учились, как и я, сто лет назад.

[Ёж]

Этот вопрос возник когда исследовал функцию $y=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$, $D(y)=(-\infty;-2]\cup(1;\infty)$.

Для функции $y=\frac{x+2}{x-1}$ все просто: точка $x=1$ является точкой разрыва 2-го рода, а прямая $x=1$ - вертикальной асимптотой.

[gris]

Вот если слазить в Кудрявцева, то увидим одно, в Зориче другое, а в Фихтенгольце... В Фихтенгольце то же самое, пожалуй.
И можно ещй такой вопрос задать. Возьмём функцию равную единице делённой на функцию Дирихле. Есть ли у неё точки разрыва?
Ответ зависит от определения точки разрыва в Вашем курсе.
С асимптотой-то попроще будет. Она там та же самая.

[Виктор Викторов]

Функция $y=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ не определена в точке $x=1$, и доопределить её в $x=1$ так, чтобы она стала непрерывной нельзя.

[Ёж]

В книжке написано, что точка $x_0$ является точкой разрыва функции $f(x)$, если она не является непрерывной в этой точке, т.е., если
1) либо функция не определена в точке $x_0$,
2) либо не существует конечный предел функции $f(x)$ в точке $x_0$,
3) либо предел функции $f(x)$ в точке $x_0$ не равен значению этой функции в данной точке.

[gris]

Ну тогда это точка разрыва. Как и точка $x=0$, хотя это немного напрягает. Как точка, находящаяся вдалеке от области определения может называться точкой разрыва.
Вот некоторые авторы требуют, чтобы функция была определена в некоторой проколотой окрестности точки разрыва. Поэтому вопрос чисто терминологический.

[Ёж]

Если я правильно понял, то
1) прямая $x=1$ является асимптотой функции $y=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$,
2) функция $y=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ точек разрыва не имеет, а сама функция разрывная,
3) функция $y=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ непрерывная в точке $x=2$ справа и разрывная в точке $x=1$ слева?

[gris]

По Вашему определению точка $x=1$ является точкой разрыва.
Хотя я бы это место обошёл. Написал бы, что функция непрерывна на $(-\infty;-2)$ и на $(1;\infty)$, а про разрывы промолчал. Односторонняя непрерывность в $x=-2$ имеет место.

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #432650 писал(а):

Ну тогда это точка разрыва. Как и точка $x=0$, хотя это немного напрягает.

Именно поэтому и не надо пользоваться этой терминалогией. У меня этих проблем нет. Если функция не определена в точке, то и разговору об этой функции в этой точке быть не может.

[Алексей К.]

Ёж в сообщении #432651 писал(а):

3) функция $y=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ непрерывная в точке $x=2$

Точку $x=2$ не надо упоминать ни под каким соусом. Иначе --- почему бы не поговорить про точки $x=3,\pi,4,59,1000,\ldots$

-- 08 апр 2011, 23:00 --

Понял, это была опечатка.

[Ёж]

Виктор Викторов в сообщении #432656 писал(а):

gris в сообщении #432650 писал(а):

Ну тогда это точка разрыва. Как и точка $x=0$, хотя это немного напрягает.

Именно поэтому и не надо пользоваться этой терминалогией. У меня этих проблем нет. Если функция не определена в точке, то и разговору об этой функции в этой точке быть не может.

Не совсем понял. А как же функция $y=\frac{x+2}{x-1}$. Она не определена в точке $x=1$, но мы же говорим, что данная точка является точкой разрыва 2-го рода!

[Виктор Викторов]

Это Вы говорите «данная точка является точкой разрыва 2-го рода!». Мне эта терминалогия не нра и я ею не пользуюсь. Вот моё дерево размышлений: 1. Функция определена в точке? Нет. Можно её доопределить до непрерывной (всегда есть четкий ответ да или нет). 2. Функция определена в точке? Да. Она непрерывна в этой точке? Если да, то разговор закончен. Если нет, можно ли её переопределить так, чтобы она стала  непрерывной (всегда есть четкий ответ да или нет).

[spaits]

Нет точки разрыва функции $y=\sqrt\frac{x+2}{x-1}$ при $x=1$, так как функция не определена слева от этой точки.