Простые числа и приписывание к ним слева новых цифр

[wolf.ram]

Есть какая-нибудь зависимость при приписывании к числу слева любой цифры?

Т.е. есть число $\overline{x_nx_{n-1}\ldots{}x_0}$ и известно, простое оно или нет. Что можно сказать о числе $\overline{1x_nx_{n-1}\ldots{}x_0}$. Или $\overline{2x_nx_{n-1}\ldots{}x_0}$. Или…

А что можно сказать о делителях исходного и нового числа? Есть какая-то определённая зависимость или всё непредсказуемо?

[Sonic86]

Если старое число - $x$, то новое число имеет вид $y=a\cdot 10^n + x$. Если знать $x \mod p$, то можно сказать, делит ли $p$ новое число $y$ (тем более, что $10^n \mod p$ легко вычисляется. ). Если $p \neq 2;5$ и $\text{НОД}(10,x)=1$ и порядок $10$ по модулю $p$ равен $T$, то из $T$ последовательно взятых чисел ($a$ - переменная) ровно одно делится на $p$, остальыне - нет. Ну понятно, если $\text{НОД}(10,x)>1$, то число составное.
Ну если Вы рассматриваете прогрессию $y=a\cdot 10^n + x$ с переменной $a$ и фиксированным $n$ и $\text{НОД}(10,x)=1$, то в такой прогрессии будет бесконечно много простых (теорема Дирихле).
В остальном пожалуй скорее непредсказуемо.

[Droog_Andrey]

http://en.wikipedia.org/wiki/Truncatable_prime

[wolf.ram]

Droog_Andrey
спасибо за ссылку.

Но не-prime может стать prime при приписывании к нему слева цифири. Поделал в Mathematica цифр, поприбавлял к ним десятки, потом сотни. И получил их делители. Никакой закономерности. :(

[Батороев]

wolf.ram в сообщении #472512 писал(а):

Есть какая-нибудь зависимость при приписывании к числу слева любой цифры?

Т.е. есть число $\overline{x_nx_{n-1}\ldots{}x_0}$ и известно, простое оно или нет. Что можно сказать о числе $\overline{1x_nx_{n-1}\ldots{}x_0}$. Или $\overline{2x_nx_{n-1}\ldots{}x_0}$. Или…

Определенно можно сказать то, что если первое число - простое, то одно из двух последних - составное.

-- 02 авг 2011 09:22 --

Sonic86 в сообщении #472514 писал(а):

Ну если Вы рассматриваете прогрессию $y=a\cdot 10^n + x$ с переменной $a$ и фиксированным $n$ и $\text{НОД}(10,x)=1$, то в такой прогрессии будет бесконечно много простых (теорема Дирихле).

При $a=x$ число будет составным.

-- 02 авг 2011 09:32 --

wolf.ram в сообщении #472578 писал(а):

Поделал в Mathematica цифр, поприбавлял к ним десятки, потом сотни. И получил их делители. Никакой закономерности. :(

Это получается, когда Вы приписываете число, кратное этим делителям, например: $77$ и $1177$ (или $1477$).

[Sonic86]

Батороев в сообщении #472721 писал(а):

При $a=x$ число будет составным.

Ну и ладно я ж говорю: $a$ - переменная (пробегает $\mathbb{Z}$)

[Батороев]

Вы, по-видимому, применили не тот термин. Наверное, имелось в виду "сколь угодно много"?

[Sonic86]

Батороев в сообщении #472726 писал(а):

Вы, по-видимому, применили не тот термин. Наверное, имелось в виду "сколь угодно много"?

"бесконечно много" и "сколь угодно много" здесь вроде бы одно и тоже обозначают

[Батороев]

"Бесконечно" - это то, что конца не имеет, а в данном случае мы выяснили, что конец есть - $a=x$. "Сколь угодно много" означает то, что сколь угодно большое число $a$ мы не взяли, всегда найдется такое $x$, что Ваше выражение будет выполняться.
Как мне кажется, данное выражение подходит под условие известной нерешенной задачи Эрдеша о сколь угодно больших цепочках простых в арифметических прогрессиях.

[Sonic86]

Ну я понял в общем

[Azog]

Ну вообще если хорошо сформулировать, можно получить много вопросов, часть из которых тривиальна, а остальные - непробиваемые гробы. Только вот зачем?