Плоская метрика на гомологической сфере Пуанкаре

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #472631 писал(а):

Пусть на $S^2 \cong_{\mathbf{Top}} \overline{\mathbb{C}}$ существует метрика, совместимая с обычной топологией и такая, что ее ограничение на $\mathbb{C}$ дает обычную метрику на $\mathbb{C}$. Тогда гомеоморфизм $z \mapsto \frac{1}{z}$ переводит сходящуюся последовательность $n \mapsto \frac{1}{n}$ в последовательность $n \mapsto n$, которая в этой метрике не является последовательностью Коши и следовательно расходится, что противоречит непрерывности отображения $z \mapsto \frac{1}{z}$.

Хоть на этот раз правильно? :)

"являться последовательностью Коши" -- не топологическое свойство

-- Пн авг 01, 2011 22:02:20 --

Kallikanzarid в сообщении #472671 писал(а):

Не существует римановой метрики такой, что порожденная ей метрика совпадает с такси-метрикой - вы это имели ввиду?

Сами поняли тавтологичность???-)))

Да, такси-метрика не является римановой

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #472674 писал(а):

"являться последовательностью Коши" -- не топологическое свойство

Но если бы последовательность сходилась, то она бы являлась последовательностью Коши в любой метрике, порождающей эту топологию - разве не так? Можно контр-пример?

-- Вт авг 02, 2011 02:09:51 --

alcoholist в сообщении #472674 писал(а):

Сами поняли тавтологичность???-)))

Тавтологичность чего? :)

[epros]

alcoholist в сообщении #472669 писал(а):

epros в сообщении #472648 писал(а):

Э-ээ, уточните пожалуйста. Это что-то вроде $d(A,B) = |x_A - x_B| + |y_A - y_B|$?

да

А что мешает для такой метрики совершенно тупо использовать моё определение угла?

Например, возьмём три точки: $A$, $B$ и $C$. Угол $\widehat{BAC} = \arccos \frac{d^2(A,B) + d^2(A,C) - d^2(B,C)}{2 \cdot d(A,B) \cdot d(A,C)}$. Какие проблемы у такого определения угла?

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472678 писал(а):

А что мешает для такой метрики совершенно тупо использовать моё определение угла?

Обычно угол определяют между кривыми, ваше определение будет корректно на них переходить?

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472680 писал(а):

Обычно угол определяют между кривыми, ваше определение будет корректно на них переходить?

Возьмём точку $A$ на пересечении кривых, точку $B$ на одной кривой, а точку $C$ - на другой кривой, обе последние - достаточно близко к точке $A$ (для этого метрика должна обеспечивать наличие непустой сколь угодно малой проколотой окрестности, т.е. быть непрерывной).

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472682 писал(а):

Возьмём точку $A$ на пересечении кривых, точку $B$ на одной кривой, а точку $C$ - на другой кривой, обе последние - достаточно близко к точке $A$

Вам нужно взять предел при стремлении длин $AB$ и $AC$ к нулю (независимо от "способа стремления"), а потом еще и доказать обычные свойства угла.

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472684 писал(а):

Вам нужно взять предел при стремлении длин $AB$ и $AC$ к нулю

Разумеется, о чём и речь.

Kallikanzarid в сообщении #472684 писал(а):

а потом еще и доказать обычные свойства угла

А какие именно свойства Вам нужны? Очевидно, что если выполняется правило треугольника, то тот угол, который мы получим по теореме косинусов, никак не зависит от того, по какой метрике были определены длины сторон треугольника.

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472685 писал(а):

А какие именно свойства Вам нужны? Очевидно, что если выполняется правило треугольника, то тот угол, который мы получим по теореме косинусов, никак не зависит от того, по какой метрике были определены длины сторон треугольника.

У вас все очень смутно. Вот в гиперболической геометрии теорема косинусов не выполняется - как теперь с ней быть? Мне, честно, такие попытки высосать угол из пальца не интересны, я бы лучше пообсуждал топологические вопросы, связанные с метризуемостью и возможностью введения плоской римановой метрики.

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472689 писал(а):

Мне, честно, такие попытки высосать угол из пальца не интересны

Ну, это дело вкуса. Вопрос-то в том, можно ли "высосать" или что-то мешает? По мне, так здесь нет ничего особо высосанного - использовали традиционное понятие угла. И даже, вроде, можно доказать, что для бесконечно малого треугольника сумма углов будет стремиться к 180 градусам.

Kallikanzarid в сообщении #472689 писал(а):

я бы лучше пообсуждал топологические вопросы, связанные с метризуемостью и возможностью введения плоской римановой метрики

Да пожалуйста. Только для обсуждения "плоскости" метрики нужно сначала ввести кривизну. alcoholist говорит, что в случае неримановой метрики с этим могут быть проблемы, и я склонен к нему прислушаться. Например, для метрики $d(A,B) = |x_A - x_B| + |y_A - y_B|$ линия минимального расстояния определена явно неоднозначно. Если линия минимального расстояния = "прямая", а параллельный перенос отрезка = "такой перенос, который сохраняет его угол по отношению к прямой", то проблемы с определением параллельного переноса уже есть... А нет переноса - нет и понятия кривизны.

С Римановой метрикой, разумеется, никаких проблем такого рода нет.

[epros]

epros в сообщении #472695 писал(а):

Вопрос-то в том, можно ли "высосать" или что-то мешает?

Кстати, я понял, что не так с этим определением угла: Он не определяет направление однозначно, и с этим, похоже, уже ничего нельзя сделать.

Так что, Kallikanzarid, Вы правы: лучше ограничиться римановыми метриками. Впрочем, почему нельзя задать евклидову метрику на $S^2$ вроде бы вполне понятно из рассуждений с треугольниками (которые, как я понимаю, в каком-то смысле повторяют теорему Гаусса-Бонне). На $S^3$ к тем же выводам приводят почти такие же рассуждения. А на гомологической сфере Пуанкаре, как я понимаю, вывод о невозможности всюду евклидовой метрики следует из гипотезы Пуанкаре (которая, вроде бы, доказана).

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472735 писал(а):

На $S^3$ к тем же выводам приводят почти такие же рассуждения.

Точно такие же: возьмите пересечение n-сферы с 3-плоскостью, проходящей через центр этой сферы, и получите 2-сферу, для которой невозможность построения такой метрики уже доказана.

epros в сообщении #472735 писал(а):

А на гомологической сфере Пуанкаре, как я понимаю, вывод о невозможности всюду евклидовой метрики следует из гипотезы Пуанкаре (которая, вроде бы, доказана).

А это тут вообще причем? 0_о

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472737 писал(а):

Точно такие же: возьмите пересечение n-сферы с 3-плоскостью, проходящей через центр этой сферы, и получите 2-сферу, для которой невозможность построения такой метрики уже доказана.

Я это и имел в виду.

Kallikanzarid в сообщении #472737 писал(а):

А это тут вообще причем? 0_о

Ну так гипотеза Пуанкаре вроде утверждает, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края (т.е. и гомологическая сфера в том числе) гомеоморфно трёхмерной сфере.

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472742 писал(а):

Ну так гипотеза Пуанкаре вроде утверждает, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края (т.е. и гомологическая сфера в том числе) гомеоморфно трёхмерной сфере.

А кто вам сказал, что любая гомологическая сфера односвязна? По теореме Гуревича ее фундаментальная группа обязана всего лишь совпадать со своим коммутатором :)

[alcoholist]

epros в сообщении #472678 писал(а):

Например, возьмём три точки: $A$, $B$ и $C$. Угол $\widehat{BAC} = \arccos \frac{d^2(A,B) + d^2(A,C) - d^2(B,C)}{2 \cdot d(A,B) \cdot d(A,C)}$. Какие проблемы у такого определения угла?

Пусть $A(0;0)$, $B(0;x)$, $C(1;0)$, тогда

$$\widehat{BAC} = \arccos \frac{x^2 + 1 - (\max\{|x|,1\})^2}{2 \cdot |x|}$$

сильно зависит от $x$, а не должно бы

[Kallikanzarid]

alcoholist
Так что с моим доказательством? :)