Производная интеграла по кривой

[RIP]

Falex писал(а):

Производная измерима в каком смысле?

В смысле $\mu$-измерима.

Добавлено спустя 4 минуты 17 секунд:

Если Вы не знакомы с интегралом Курцвейля-Хенстока, то при дополнительном требовании измеримости (относительно классической меры Лебега на отрезке) нормы производной $\|f'(x)\|$интеграл можно понимать как интеграл Лебега.

Добавлено спустя 6 минут 8 секунд:

Хотя вполне возможно, что производная автоматически будет измерима. Я не знаток действительного анализа, поэтому не могу сказать наверняка.

[Falex]

Цитата:

можно понимать как интеграл Лебега.

т.е. как обычную длину?

[RIP]

Falex писал(а):

Цитата:

можно понимать как интеграл Лебега.

т.е. как обычную длину?

Как интеграл в смысле Лебега (не в смысле Римана, не еще каком-нибудь смысле).
Но повторяю, я не уверен в точности формулировки.

[Falex]

Цитата:

Как интеграл в смысле Лебега (не в смысле Римана, не еще каком-нибудь смысле).

Я постоянно путаю где есть длина,а где что-то другой.По-моему,интеграл Лебега для кривой есть ее длина!

[RIP]

Falex писал(а):

Цитата:

Как интеграл в смысле Лебега (не в смысле Римана, не еще каком-нибудь смысле).

Я постоянно путаю где есть длина,а где что-то другой.По-моему,интеграл Лебега для кривой есть ее длина!

Забудьте про кривые! Там (в теореме) стоит интеграл от некоторой функции (а именно: $\|f'(x)\|$) по самому что ни на есть обычному отрезку. Существует много различных видов интеграла по отрезку. Нас интересует интеграл Лебега.

[Falex]

Как он выглядит тогда?

[RIP]

Falex писал(а):

Как он выглядит тогда?

Я имею в виду, что утверждение надо читать так:
длина кривой равна интегралу Лебега $\int_a^b\|f'(x)\|dx$. (Допускаются бесконечные значения.)

[Capella]

Falex писал(а):

Как он выглядит тогда?

Да в принципе так-же он выглядит, та-же загагулина. Отличие в области определения, где он распределяется по области отображений (по англ. codomain) (а не аргумента ( по английски domain)). Например если взять $n$ кусочков, то определяем снова как их сумму.

$$L\sum^n f = \sum_{k=1}^n \frac k n l\{x: \frac k n \leq f(x) \leq \frac {k+1} n\} $$

Собственно Лебег понимается как предел при

$$n \to \infty$$

. Представьте, у Вас есть к примеру всюду разрывная функция, которую невозможно проинтегрировать. А мера его

$$\mu$$

понимается как (конечное) объединение непресекающихся интервалов

$$\mu(\cup I_n)$$

, она может быть равна бесконечности. Вот собственно и всё.

[Falex]

А как можно доказать,что $|v^{'}(0)| \le 1$?
(формула для $v(z)$ см. во 3-ем посте).

[Falex]

Может каким-нибудь образом воспользоваться леммой Шварца?