Если

- кривая, а функция

- дифференцируема
всюду на

и производная

измерима, то думаю, что утверждение верно и доказывается по определению (Но я не уверен! А проводить все выкладки лень). По крайней мере, если

- отрезок, а

- обычная мера Лебега, то утверждение верно.
По крайней мере, у нас в курсе матанализа доказывалась такая теорема (я не уверен, что правильно помню формулировку)
Пусть дана кривая
![$f\colon[a;b]\to N$ $f\colon[a;b]\to N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/8/218f05c6340632ba2a9e61c14bf7525582.png)
, где

- нормированное пространство. Пусть

существует всюду на отрезке
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
, за исключением не более чем счетного множества точек. Тогда длина кривой конечна тогда и только тогда, когда существует интеграл

, где интеграл понимается в смысле
Курцвейля-ХенстокаЛебега
(для неотрицательных функций эти интегралы эквивалентны), причем в этом случае длина кривой равна этому интегралу.