Производная интеграла по кривой

[Falex]

Как подсчитать производную по $z$,$\zeta$ функций $w_0(1/z)$,$\psi(\gamma)$,где

$$ w_0 (z) = \int\limits_\gamma {\frac{{d\zeta }}{{\zeta - z}}} = \int\limits_\gamma {d\ln (\zeta - z)}, $$

$$ \psi (\gamma ) = \int_\gamma {|dArg\frac{{\zeta - a}}{{\zeta - b}}|}. $$

где $\gamma$ - параметризованная кривая,т.е.

$$ \gamma = \{ \zeta :\zeta = z(s),s \in [0,|\gamma |]\}. $$

Помогите please.Очень необходимо.

Добавлено спустя 21 минуту 59 секунд:

Я вот пытался подсчитать производные $w_0^{'}(z)$ и $w_0^{'}(1/z)$ по $z$ и вот что у меня вышло

$$ w_0^{'}(z) = \frac{\mid \gamma \mid}{z(z-\mid \gamma \mid)}, $$

$$ w_0^{'}(1/z) = \frac{\mid \gamma \mid}{\mid \gamma \mid \cdot z - 1} $$

[RIP]

Производные найдены неверно.

$$w_0'(z)=\int\limits_{\gamma}\frac{d\zeta}{(\zeta-z)^2}=-\frac1{\zeta-z}\Biggl|_{\zeta=\zeta(0)}^{\zeta(|\gamma|)}=\frac1{\zeta(0)-z}-\frac1{\zeta(|\gamma|)-z},\qquad z\notin\bigl[\gamma\bigr]$$

$$\frac{d}{dz}w_0(\frac1z)=-\frac{w_0'(\frac1z)}{z^2}$$

$\psi(\gamma)$ не зависит от $z$. Зачем искать производную? И кто такие $a$и $b$?
Или я что-то неправильно понимаю?

[Falex]

Все правильно.Точки $a,b$ - эт точки не лежащие на $\gamma$.

Добавлено спустя 23 минуты 55 секунд:

Тогда можете мне объяснить почему для функции

$$ v(z)=\frac{{\exp (\pi w_0 (1/z)\psi ^{ - 1} (\gamma )) - 1}}{{\exp (\pi w_0 (1/z)\psi ^{ - 1} (\gamma )) - p}}, $$

(где p - некоторая точка)
производная в нуле равна

$$ v^{'}(0)=\frac{1}{\mid{1 - p}\mid}\frac{\pi }{{\psi (\gamma )}}\mid{\int\limits_\gamma {d\zeta }}\mid $$

[RIP]

Просто посчитайте $v'(z)$ и в том, что получится, устремите $z\to0$. Я прикинул в уме, вроде получается. Только у Вас написано значение $|v'(0)|$, а не $v'(0).$

Добавлено спустя 16 минут 18 секунд:

Если Вас пугает вид функции, то обозначьте $f(z)=\exp\left(\frac{\pi}{\psi(\gamma)}w_0(\frac1z)\right)$. Тогда

$$v(z)=\frac{f(z)-1}{f(z)-p}$$

Дифференцируйте на здоровье.

Добавлено спустя 31 минуту 18 секунд:

Замечу, что функция $w_0(z)$ голоморфна в окрестности бесконечности и имеет устранимую особенность в точке $z=\infty$ (это особенно хорошо видно из интегрального представления). Поэтому функция $g(z)=w_0(\frac1z)$ голоморфна в окрестности 0, если положить $g(0)=0$.
Поэтому функция $v(z)$ является аналитической в окрестности 0, если $p\ne1$. (Из-за наличия $\frac1z$ в выражении для $v(z)$ может показаться, что в точке 0 особенность).

[Falex]

Да.Все правильно.Просто супер.
А вот такой можно вопрос:почему

$$ \mid \gamma \mid = \frac{1}{2} \int\limits_0^\pi {\mid P_{\varphi}\mid} d{\varphi}, $$

где $P_{\varphi}$ - проекция кривой $\gamma$ на прямую
$l_{\varphi}: y \cdot cos(\varphi) - x \cdot sin(\varphi) = 0$ ($0 < \varphi < \pi$).

[RIP]

Falex писал(а):

Да.Все правильно.Просто супер.
А вот такой можно вопрос:почему

$$ \mid \gamma \mid = \frac{1}{2} \int\limits_0^\pi {\mid P_{\varphi}\mid} d{\varphi}, $$

где $P_{\varphi}$ - проекция кривой $\gamma$ на прямую
$l_{\varphi}: y \cdot cos(\varphi) - x \cdot sin(\varphi) = 0$ ($0 < \varphi < \pi$).

Я не уверен, но, по-моему, данная формула верна тогда и только тогда, когда $\gamma$ - отрезок. Для всех остальных кривых левая часть больше.

Добавлено спустя 15 минут 47 секунд:

Мельком просмотрел тему http://elib.hackers/forum/viewtopic.php?t=5645 и подумал, что Вы забыли фразу "с учетом кратности проектирования". Тогда формула верна.
Для отрезка формула легко проверяется. Отсюда формула верна для ломаных, только если "учитывать кратность проектирования". Аппроксимируя спрямляемую кривую вписанными ломаными, получаем формулу в общем случае. При этом интеграл справа надо понимать как интеграл Лебега.

[Falex]

А скажите,почему роль кратности проектирования играет такую важную роль здесь?И как проверить эту формулу?!

[RIP]

Для отрезка формула проверяется прямым вычислением $|P_{\phi}|$.
Загадочная фраза "учитывая кратность проектирования" означает, что кривая понимается не как геометрическое место точек, а как уравнение этой кривой (то же относится к проекции кривой)
Строгое обоснование законности предельного перехода требует использование теории интеграла Лебега, а именно, теоремы Беппо Леви (из нее же попутно получаем и существование интеграла справа).

Добавлено спустя 14 минут 58 секунд:

Пусть кривая - это ломаная из 2 (неколлинеарных) отрезков. Записывая для каждого отрезка данную формулу и складывая, слева получим длину кривой. Справа под интегралом стоит сумма длин проекций отрезков. Для некоторого интервала углов она будет больше длины проекции кривой (если проекцию понимать как геометрическое место точек!), для остальных углов - равна. Поэтому формула будет неверна. Если "учитывать кратность проектирования", проблема исчезает.

[Falex]

А такое равенство выполняется для $\mu$ - измеримой комплекснозначной функции, определенной на $\gamma$
($\mu$ - некая мера c компактным носителем $\gamma$):

$$ \mid R(\gamma) \mid = \Vert R^{'}\Vert_{1,\gamma}, $$

где

$$ \Vert R \Vert_{p,\mu} = \left( {\int\limits_\gamma {\left| {R(z)} \right|^p d\mu (z)} } \right)^{1/p} ,0 < p < \infty $$

(вместо $\mu$ можно взять $\gamma$).

P.S:

Цитата:

Строгое обоснование законности предельного перехода требует использование теории интеграла Лебега, а именно, теоремы Беппо Леви.

Вы имеете ввиду для обоснования того, что если справедливо для отрезка, то справедливо и для любой спрямляемой кривой? Да еще бы и эту теорему знать

[RIP]

Falex писал(а):

P.S:

Цитата:

Строгое обоснование законности предельного перехода требует использование теории интеграла Лебега, а именно, теоремы Беппо Леви.

Вы имеете ввиду для обоснования того, что если справедливо для отрезка, то справедливо и для любой спрямляемой кривой? Да еще бы и эту теорему знать

Для обоснования того, что если верно для ломаных, то верно и для любой спрямляемой кривой. Теорему Леви можно найти, например, в Колмогорове-Фомине (на самом деле, находить Вы её должны в своей голове, но никто не идеален, я тоже знаю далеко не всё, что входит в обязательную программу).

[Falex]

RIP а про первый вопрос в моем последним посте что можете сказать?

[RIP]

Falex писал(а):

RIP а про первый вопрос в моем последним посте что можете сказать?

Могу сказать только, что не знаю. Откуда Вы берете такие задачи?

[Falex]

Ну последний вопрос я сам придумал,чтобы додоказать одну формулу,а это из диссертации.

Добавлено спустя 58 секунд:

А если навскидку.Если $R$ - рациональная функция,то вроде должно быть верна эта формула!

[RIP]

Если $\gamma$ - кривая, а функция $R$ - дифференцируема всюду на $\gamma$ и производная $R'$ измерима, то думаю, что утверждение верно и доказывается по определению (Но я не уверен! А проводить все выкладки лень). По крайней мере, если $\gamma$ - отрезок, а $\mu$ - обычная мера Лебега, то утверждение верно.
По крайней мере, у нас в курсе матанализа доказывалась такая теорема (я не уверен, что правильно помню формулировку)
Пусть дана кривая $f\colon[a;b]\to N$, где $N$ - нормированное пространство. Пусть $f'$ существует всюду на отрезке $[a;b]$, за исключением не более чем счетного множества точек. Тогда длина кривой конечна тогда и только тогда, когда существует интеграл $\int\limits_a^b\|f'(x)\|dx$, где интеграл понимается в смысле Курцвейля-ХенстокаЛебега (для неотрицательных функций эти интегралы эквивалентны), причем в этом случае длина кривой равна этому интегралу.

[Falex]

Производная измерима в каком смысле?