Плоская метрика на гомологической сфере Пуанкаре

[bayak]

alcoholist в сообщении #472458 писал(а):

Вы так и не предъявили метрику

Значит не сумел.

[Kallikanzarid]

bayak в сообщении #472472 писал(а):

Значит не сумел.

Я думаю, ее и нельзя ввести без нарушения правила треугольника, хотя формально доказать это не решусь :)

[Munin]

Kallikanzarid в сообщении #472394 писал(а):

Вроде бы данные наблюдений эта гипотеза объясняет лучше обычной с евклидовым пространством (см. ссылки в вики), но я в физике плохо соображаю :)

Не лучше. Вики - мусорка.

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472478 писал(а):

bayak в сообщении #472472 писал(а):

Значит не сумел.

Я думаю, ее и нельзя ввести без нарушения правила треугольника, хотя формально доказать это не решусь :)

А Вы предположите, что можно ввести, и оно сразу докажется от противного. В моём посте выше был пример про сумму углов треугольника, охватывающего ту точку, на которую не была распространена евклидова метрика ("северный полюс"). Как можно выразить кривизну через сумму углов и площадь малого треугольника? А если сколь угодно малый треугольник имеет сумму углов 900 градусов, то что можно сказать о кривизне в соответствующей точке? И, соответственно, о метрике? Если я правильно понимаю, это и означает, что данная метрика на данную точку непрерывно никак не продолжается.

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472529 писал(а):

Как можно выразить кривизну через сумму углов и площадь малого треугольника?

Никак: кривизна определяется для связности, а связность нельзя ввести, имея лишь структуру метрического пространства. Точнее, для связности Леви-Чивита это сделать можно, но вам нужно сначала знать, что такое угол, что такое площадь и что такое (геодезический) треугольник.

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472536 писал(а):

а связность нельзя ввести, имея лишь структуру метрического пространства

Ну Вы даёте! Разумеется, если есть метрика, то согласованная с ней связность вводится стандартным образом (симметричная связность - даже вполне однозначно).

Вообще, про то, как можно найти кривизну через сумму углов и площадь треугольника, знать полезно...

-- Пн авг 01, 2011 12:15:42 --

Kallikanzarid в сообщении #472536 писал(а):

Точнее, для связности Леви-Чивита это сделать можно, но вам нужно сначала знать, что такое угол, что такое площадь и что такое (геодезический) треугольник.

Ёлы- палы, а в чём тогда проблема? Что такое угол, площадь и треугольник - всё это для рассматриваемой выше евклидовой метрики определено.

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472538 писал(а):

Ну Вы даёте! Разумеется, если есть метрика, то согласованная с ней связность вводится стандартным образом (симметричная связность - даже вполне однозначно).

Речь идет о метрике в смысле метрического пространства, а не о римановой метрике: $\mathbb{R}^2 \sqcup *$ даже не является многообразием, и идет речь о введении на нем топологии посредством введения метрики. Читайте внимательней

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472548 писал(а):

Речь идет о метрике в смысле метрического пространства, а не о римановой метрике: $\mathbb{R}^2 \sqcup *$ даже не является многообразием, и идет речь о введении на нем топологии посредством введения метрики. Читайте внимательней

И что? Во-первых, речь была о том, что везде, кроме одной точки, эта метрика евклидова. Во-вторых, метрика в общем смысле (как то, что определяет расстояния) прекрасно уживается с понятием кривизны: Согласованная с ней связность - это определение такого параллельного переноса, который сохраняет расстояния. А кривизна определяется через переносы по малым контурам.

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472551 писал(а):

Согласованная с ней связность

Связность на чем? Это даже не многообразие пока.

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472553 писал(а):

Связность на чем? Это даже не многообразие пока.

Так мы примерно это и доказываем - от противного.

[epros]

(гомологическая сфера Пуанкаре)

В юные годы была у меня задумка написать компьютерную игрушку - 3D flight simulator - пространство которой представляло бы собой додекаэдр, замкнутый на себя противоположными гранями - это чтобы поиздеваться над пространственным воображением игроков. Тогда я не знал, что это - гомологическая сфера Пуанкаре. Но руки так и не дошли, так что безвозмездно отдаю идею всем желающим.

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472587 писал(а):

3D flight simulator - пространство которой представляло бы собой додекаэдр

Любопытно, как такое можно ускоренно отрендерить

-- Пн авг 01, 2011 20:45:52 --

epros в сообщении #472554 писал(а):

Так мы примерно это и доказываем - от противного.

Не, мы доказываем, что на множестве $\mathbb{R}^2 \sqcup *$ нельзя ввести такую метрику $d$, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^2$ $d(x, y) = \|x - y\|_2$.

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472593 писал(а):

Не, мы доказываем, что на множестве $\mathbb{R}^2 \sqcup *$ нельзя ввести такую метрику $d$, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^2$ $d(x, y) = \|x - y\|_2$.

Ну ёлы-ж-палы-ж ... я же сказал: доказывайте от противного. Предположите, что можно. И придёте к противоречию.

[alcoholist]

epros в сообщении #472538 писал(а):

Ну Вы даёте! Разумеется, если есть метрика, то согласованная с ней связность вводится стандартным образом (симметричная связность - даже вполне однозначно).

Вообще, про то, как можно найти кривизну через сумму углов и площадь треугольника, знать полезно...

Это только в римановом смысле... А в произвольном метрическом пространстве и непонятно что такое угол -- непонятно даже между чем и чем угол))) геодезические-то не везде есть... так что не увлекайтесь

И понятие кривизна должно быть употребляемо аккуратно, если даже в римановом многообразии (секционная кривизна, кривизна Риччи и т.д.), а уж в произвольном метрическом (даже в неевклидовом нормированном!!!) пространстве кривизна просто не определена:((( Читайте книжку М. Громова "Знак и геометрическое значение кривизны"

[Kallikanzarid]

Попытка доказательства №3 (раньше я забывал про требование к топологии <_<):

Пусть на $S^2 \cong_{\mathbf{Top}} \overline{\mathbb{C}}$ существует метрика, совместимая с обычной топологией и такая, что ее ограничение на $\mathbb{C}$ дает обычную метрику на $\mathbb{C}$. Тогда гомеоморфизм $z \mapsto \frac{1}{z}$ переводит сходящуюся последовательность $n \mapsto \frac{1}{n}$ в последовательность $n \mapsto n$, которая в этой метрике не является последовательностью Коши и следовательно расходится, что противоречит непрерывности отображения $z \mapsto \frac{1}{z}$.

Хоть на этот раз правильно? :)

(Оффтоп)

Забавно: как только в условия задачи помимо метрики и т. д. добавляются требования к топологии, мои методы шагают через 2 века